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Glj esemii recati da Liouville rivengono a quello più generale proposto dall'Abel, 

 che è attissimo a far veder l'utilità dell'indice fratto* ma anche può sciorsi al modo 



(x — 0)~ n cp'(d) do = f(x) , ove < n < 1, essendo lineare ed omo- 



.genea rispetto a (p',f, se f{x) e suscettibile dalla forma 2Ax* , il problema sarà ridotto 



al (x — 0)~ n qj'(O) do — x a , e qp(fl) prenderà necessariamente (almeno se zero deve 



essere accessibile per x) la forma B6 0!+re ; indi 



r(i — w)r(« + w + i) 



sin nn C x 



<p(x) = (CO — 6)"-' 0* dO ■ 



poi la sommazione. 



La interessante sua memoria sul muto dei liquidi, la quale svolge tutto un secolo di 

 lavoro agli occhi, mi à dato la convinzione che il problema del moto a due coordinate, 

 tale quale è ivi proposto, è completamente sciolto. L'equazioni a differenze finite ne sono 

 necessarie conseguenze, e tutte le loro soluzioni sono tali del problema, e viceversa ; 

 qui la discontinuità sebbene esistente è analiticamente superata. Quanto al moto perma- 

 nente nei vasi di rivoluzione si potrebbe ventilar la quistione, se la parete e l'asse non 

 debbansi considerare come un sistema, come una curva composta. Almeno vi sono due 

 maniere di concepire il problema. Iu quella ora mentovata la parte è un caso-limite, un 

 caso singolarissimo della traiettoria ; si potrà dare arbitrariamente una traiettoria proxime 

 seguente (adjactnte), la quale va allato della parete, scansa la intersezione d'essa coi- 

 l'asse per ritornare lungo l'asse (ma può, così mi pare, aver l'asse per asintota); e credo 

 che cotal gran paitieolarezza del sistema parete-asse contribuirà alla generalità della 

 soluzione e aumenterà la libertà della traiettosia. Nell'altra maniera di vedere egli ne 

 sarebbe della parete come di una traiettoria qualunque; il problema riverrebbe a trovare 

 soltanto lungo l'asse una traiettoria infinitamente consecutiva e tale che la famiglia di 

 traiettorie determinate per essa contenesse la parete ; se per esempio, \ r 2 cp'(z) = costante 

 infinitesimale, rappresentasse quella traiettoria consecutiva all'asse, la famiglia di curve 



espressa per f=-— I cos . qs(z -(- ir cos 0) do = costante finita, dovrebbe contener la 



parete. (Poiché nella prima 0/(2) = oo caratterizza una intersezione coll'asse, io sono pro- 

 penso a credere che tutte le traiettorie avranno comune la detta intersezione). Insomma 

 partasi dall'asse per attinger la parete, o partasi da questa per arrivare a quello, il salto 

 a distanza fmita cagiona a questo secondo concetto del problema delle difficoltà inestri- 

 gabili. 



In quanto alla pretesa costante (nell'analitica rappresentazione della parete) la quale 

 avesse nello stesso tempo una significazione funzionale, sono pienamente d'accordo con 

 lei, che non esiste del tutto ; mà ecco perchè non posso appagarmi neppur della eq. (33) 

 pag. 18 appoggiata alla idea di variazione della parete, come mi pare che faccia vedere 

 il paragone della (36), ove a diventa una costante funzionale appunto per l'eliminazione. 



Durante la lettura della sua memoria (moto de' liq.) mi venne in mente un mezzo 

 speditissimo a sporre le funzioni di Laplace partendo dalla espressione pag. 22 lin. 1 ; 

 e non so se questa osservazione è già pronunziata. Perchè nella (21) x,y ,z non com- 

 pariscono in forma finita, alcun punto dello spazio dove la funzione (p ammette lo svi- 

 luppo Tayloriano può stare da origine (# = , y — , 2 = 0), in modo che lo sviluppo sarà 



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