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In forza della (21) i coefficienti saran legati dalle relazioni (et + 2 , jS , y) -\- (« , /J -j- 2 , y) -\- 

 -\-{a , jS , y -j- 2) = 0, ove la somma dei tre indici è la stessa in ciascun termine e dicasi n, 



cosicché a -\- § -f- Y — n — 2. Il grado n abbraccia ^ W ^~ ^ termini, mà tra i loro coeffi- 

 cienti avvi relazioni; ve ne sono adunque 2n -f- 1 indipendenti. Ciò importa che la 



funzione cp si slega non solo in funzioni omogenee dei diversi gradi, mà anche la fun- 

 zione omogenea del grado n si slega in 2» -\- 1 funzioni indipendenti tra loro. Ora la 

 più semplice soluzione della (21) si è cp = (a x -f- ly -f- cz) n , ove a 2 -j- b 2 «J- c 2 ■= , lo 

 che si verifica con a = 2t,b = t 2 — 1 , c=> i(t 2 -j- 1), come è notissimo dai tempi di 

 Pitagora. Questa espressione sviluppata per le potenze della indeterminata t conterrà 

 2n -f- 1 termini, ciascuno dei quali deve da per se soddisfare alla (21). Pongasi y-\-iz = p , 

 y — Ì2 = qt avremo q> — p~ n ((x -{- pt) — (x*-\-pq)) ìl , e poscia, assumendo x 2 -{-y"-{-z i — l, 



mm—n / "\ \m ( '. -\\n—m / -\ \ in— m 



(a causa della simmetria di + il/ - — - l/^- 1 rispetto atl/^-e al valor recipr.V 



A volere che qp sia funzione di x e di y 2 -\- z 2 soddisfa solo ms=n. Sia x 2 -\-y 2 -\-z 2 

 = a 2 < 1 , e 5 = (1 — #) 2 + + z 2 , (p = - verificherà la (21), e perciò, ove si cangi x 



in prenderà la forma — l) m .«™. Ma per = 1 si à 



dunque A«, : 



Sia poi q 3 — 1 — 2aw + « 2 , u — cos 6 cos 6' + sin 6 sin 6' cos i^, si domanda l'espressione 



di XJu) in funzioni di Laplace. Ponendo cos = x , cos 6' = x' , t—t, (t~*t = e , avremo 

 v sin 6 



M = -^-(l-fe 2 -(^-£«') a ); 



però se riguardiamo e come costante, X n (w) sarà funzione intera 2n j della sola variabile 

 x — ex' e svanirà adunque sotto la operazione — ^ -|-£— (per brevità J' + eD). Mà 



X m (w) ammette lo sviluppo finito ^_ Vx è '* con le condizioni y Vi -f- àVx_i = . Qui 



1= — » 



V_ ft si determina per e = 0, cioè 



JI(2w) 



nn.nn. 2 n 



Indi si ànno da integrare dette 2ré condizioni (rispetto a #'), ove le costanti d'integra- 



