— 539 — 



Queste forinole si possono scrivere nel modo seguente, impiegando il simbolo 

 del parametro differenziale del primo ordine, 



{2T) jr = K*(i + ;iw 



| f = J,W. 



48. Le espressioni ottenute per /„ ci forniscono sotto altre forme la con- 

 dizione ,/„ = 0, lungo le porzioni libere ed isolate del contorno. Così, per 

 esempio, servendoci della formula (20"'), potremo scrivere la condizione 

 stessa mediante la equazione 



/ l2I_ r 2lv / G^-F^A 



( _ i jg ^ u \ j_ ( i x ^ ^ v I — — 



\ ~~ f/EG — F 2 / "3» \ ^ 1/ÈG — F* / ~~ 



49. Supponiamo, adesso, che la lamina sia omogenea, e manchi il campo 

 magnetico ; avremo K = cost e X — : quindi le equazioni (P) e (G) di- 

 verranno 



|/EG — F* ì ìv( |/EG — F* } _ 



£ Da Dy_ ) . _D_ i ~òv Dm ) 



Dm j j/ÉG~T^ j Dy ( j/F^T— F 2 S ~ 



e potranno anche scriversi, facendo uso del simbolo del parametro differen- 

 ziale del 2° ordine 



(/?') J 2 Y = ^ 8 W = . 



V e W saranno quindi, come doveva prevedersi, due funzioni armoniche sulla 

 superficie. Inoltre le (24) diverranno 



Dm Dy K De? Dm _ K 



j/EG — F 2 ~~ ' |/ÈG — F 2 ~~ ^ 



Le condizioni (/S') sono le condizioni necessarie e sufficienti affinchè 



V e W siano funzioni armoniche sulla superficie; le (y), affinchè 



W 



v + < ¥ 



sia una variabile complessa sulla superficie ('). 



(') Cfr. Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque. Opere, 

 voi. I, pag. 318. 



