dove Sen è, al solito, il simbolo di seno iperbolico, e che si ottiene dalla (2) 

 per n = — \ e 1 = 0. Ci siamo perciò indotti a riprendere e ad appro- 

 fondire lo studio dell'equazione (2), imponendoci, a priori, le sole limita- 

 zioni che X sia un numero intero e che n sia un numero intero, ovvero 

 la metà di un intero dispari, positivo, o negativo; e con l'altre limitazioni, 

 naturali, che, per n intero, sia n -\- 1 >. e che, in ogni caso, 



sia finito per t = r . Nella presente Nota riportiamo quelli dei risultati ottenuti 

 che ci sono parsi non privi di interesse. Ma dobbiamo subito avvertire che 

 i ripetuti sforzi fatti per ottenere, con un procedimento finito, la soluzione 

 della (2') e di quelle altre equazioni che alla (2') si possono ricondurre, 

 sono riusciti sempre vani. D'altra parte la teoria generale delle equazioni 

 integrali non sembra sufficientemente avanzata, così da poterci dare risposta 

 alla domanda se un tale procedimento finito, nel caso della (2'), sia, o no, 

 possibile. 



Per maggiore semplicità supporremo, nel sèguito, sempre k = l. 



IL 



FORMOLE FONDAMENTALI. 



1. Sono notissime e, del resto, si dimostrano con tutta facilità, le for- 

 inole fondamentali seguenti della teoria delle funzioni di Bessel: 



(A) |-[sM^)] = ,- , ^0-M N (*)] = ^I v+1 (^) 



le quali valgono per ogni valore di v, diverso da zero, anche negativo, 

 purché non sia intero negativo. Per »' = , le (A) sono sostituite dall'unica 

 relazione 



(A') ^ = I,W . 



Le (A) dànno luogo immediatamente alle altre: 



z z 



nelle quali gli accenti indicano delle derivate, e queste ultime, a loro volta, 

 per somma e per differenza, dànno luogo alle: 



(A 2 ) 2i;(*)«-i,_ 1 (*)-+i, +1 (*) , ^i^) = i v _^) — 



