— 550 — 



Se poi, invece, n > m, come precedentemente, si determinerà, dapprima, 

 <!>„,„ per mezzo di d> w , m , e quindi la funzione con l'aiuto della (6). 

 Nel caso, anzi, che ora consideriamo può darsi ad m anche un valore nega- 

 tivo purché, naturalmente, sia n -j- m ->0, chè il procedimento non soffre 

 eccezioni. 



Si tratti, per un es., di risolvere l'equazione 



P<f(i) (l — t) 2 li (2 — r) c/r == 



I 



'2 n 



9>(t) — rf Sen — t) dt ■= ± 



In questo caso (P^ s_ è la soluzione dell'equazione 



2 ' 2 



che si annulla, insieme con la derivata, per t = t : ed è perciò 



<J> . - <Z» , (f)sen — =-(It, 



*'T |/3V«o T»-» |/3 



Dall'espressione precedente di (Ps_ i ricaviamo poi la funzione 9>(<() con l'aiuto 



2 ' 2 



della (6). 



IV. 



Risoluzione dell'equazione (4) per n ed m interi 

 e <. n < m . 



1. Quando n = 0, ed m è un intero positivo, l'equazione (4) è stata da 

 noi risoluta nell'ultima Nota più volte citata, con l'aiuto della (D). Possiamo 

 dunque lasciare da parte questo caso, e supporre senz'altro che sia n ^> . 

 Vogliamo però, prima, notare che, se oltre di <t> n , m , fosse nota <P„, TO _i, 

 ovvero <P„, M+ i, la prima delle (B,) ci darebbe il modo di calcolare tutte 

 le <P col primo indice eguale ad n. Ed allora, com'è stato osservato in altro 

 posto ('), con l'aiuto della seconda delle (B,), si potrebbero dedurre anche 

 tutte le <t> col primo indice minore di n. In particolare si potrebbero cal- 

 colare d> c , e (P ,i, dalle quali si dedurrebbe, immediatamente, 



sp(0 = *ó,o(0 — ^0,1(0 • 



(') Suir 'integrazione delle equazioni ecc. Questi Rendiconti, voi. XXIII, per. 5' 

 2° sera., pag. 154. 



