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•diante uno sviluppo in serie. In questa breve Nota ini permetto di trattare 

 lo stesso problema con un metodo che si applica in casi assai generali d'equa- 

 zioni alle derivate parziali ('). Ottengo, nel caso dell'equazione (I), un'espres- 

 sione di forma differente da quella del Volterra, ma Y identità dei resultati 

 si prova senza difficoltà. 



2. Procedendo come se si trattasse di un'equazione differenziale a coeffi- 

 cienti costanti, sostituiamo alla (I) la stessa equazione 



(II) Ku = q{x ,y ,z;t) 



con un secondo membro, funzione arbitraria di x , y , z , t , e cerchiamone 

 una soluzione qualunque, scritta nella forma 



u — f f j f" q{% , fi , v ; t) F(x — l , y — /Jt , z — v\t , t) dX da dv dv . 



oo *- — oo ^ — oo T 



Chiamiamo, per analogia, F l'integrale fondamentale dell'equazione (I). 



Nel metodo ricordato si sostituisce alla funzione q la sua rappresenta- 

 zione mediante l'integrale multiplo del Fourier. Seguendo questa idea, 

 poniamo : 



1 r+°° r+<*> r +co 



(1) * = w I -j Q(^fi,v;t)X 



x ^«to-Xì + PG^+Tfto-*)) d a ^ ,] y ,// dfX dv ? 



e si vede che la risoluzione della (II) viene ridotta a quella dell'equazione 



Au = q(X ,fi,v;t) tf««t*-x>+^(iH(*)+7(«-»)) > 

 di cui la soluzione sia 



u = x (a , /?, y ; X , fi , v ; t) = x (t) . 



Troviamo : 



( 2 ) + g » + / )«^ I ( f( V* + F9 + r 2 V) * - 



8tT 3 («* + 0» y») ' ^ ' ' V 5 ^ ' 



equazione integrale in cui possiamo supporre il limite superiore o variabile 

 (tipo del Volterra) o costante (tipo del Fredholm). 



(') Vedi Zeilon, Das Fundamentalintegral der allgemeinea Unearen partiellen 

 Diff'erentialgleichung mit konstanten Koefjizienten, Arkiv f. Mathematick, Astronomie u. 

 Fysik. Stocolma 1911; Sur les intégrales fondamentales dea équations à caractéristique 

 réelle de la physique mathématique, Arkiv f. Matematik ecc., Stocolma 1913. 



