— 586 — 



3. Sia D'(« , ,y\t ,t) il nucleo risolvente dell'equazione (2); avremo: 



(3) ^ = 8 ^ + ^ + y') X 



X , fj, , v ; t) + j. D'(« , /? , y 1 1 , *) ? U , fi , y ; %) dr^ , 

 relazione che più comodamente si scrive 



(3') X{t) = 8yr8(gg ^^ + yg) /D(a , /? , y | / , r) <>(A , ^ , r ; i ) dt 



D = £ (/ , t) -}- D' , 



denotando con ìe(^t) una funzione (definita mediante un'espressione di limite 

 conveniente) soggetta alla condizione che 



ye(l , t) q(X , fi ,r ; v) dt = q[X , ,r;t). 

 La soluzione della (II) si scrive adesso: 



£-(-00 f^-t-co 

 | - as(a , /S , y ; 1 , /* , v ; t) X 

 ■OB — 0» ^ — OD 



X e 'i[ate-W + ^- fA )+.y<; !! -v>] fa _ ^ ? 



e si forma evidentemente nel modo desiderato per mezzo d'un integrale fon- 

 damentale F, la cui espressione, scrivendo «-£ invece di«r — X ecc., sarà la 

 parte reale di 



(III) F(s,y, = 



4. La convergenza dell' integrale (III) può discutersi come nei casi 

 analoghi delle equazioni differenziali di tipo ellittico. Si osserva che c'è una 

 singolarità nel punto u ?= fi == y == ; quindi bisogna definire un valore prin- 

 ipale evitando questa singolarità, il che può farsi in modi diversi. Suppo- 

 niamo, per es., che la integrazione rispetto a y si eseguisca fra — oo e — à , 

 e fra -f- e -J- oo , ó essendo una piccola quantità positiva; invece di (III), 

 prendiamo il limite per ó = dell'espressione risultante. 



Nel caso d'un'equazione del tipo del Volterra, la convergenza è accer- 

 tata, D essendo allora una funzione sempre finita, almeno per i valori finiti 

 delle a,/S,y. Ora l'equazione (2) fa vedere che D è funzione omogenea, 



