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abbia in t (e quindi, attesa la realità delle c r , $ . anche in T) uno spazio 

 totale; dunque: 



In 2 esistono sempre dei sistemi nulli razionali aventi in t e t due 

 spasi totali; e se ne esiste più di uno, ne esistono senz'altro infiniti, la 

 loro totalità polendo assimilarsi a quella (discontinua) dei punti razio- 

 nali di un conveniente spazio lineare. 



Ciascuno di questi sistemi nulli razionali si dirà, per comodità di di- 

 scorso, un sistema nullo di Y p (relativo al sistema prescelto di cicli lineari). 



10. Quando dal sistema di relazioni di Riemann (5) per i periodi o) jfk 

 si passa al corrispondente sistema nullo (5 6is ) di Y p , viene a perdersi, in 

 quest' ultimo, ogni traccia della scelta dei p integrali U\ , U% , ... , Up fra 

 gli ooP -1 integrali semplici di l a specie di Y p . Ciò significa che il sussi- 

 stere delle (5) per i periodi degli integrali u x . u 2 , ••• , u p implica il sussi- 

 stere di relazioni con gli stessi coefficienti per i periodi di altri p qual- 

 siansi integrali semplici di l a specie indipendenti di Y p ( 18 ); quindi i coeffi- 

 cienti di un sistema di relazioni di Riemann dipendono non già dalla scelta 



( 18 ) E facile comporre una dimostrazione algebrica diretta di questa circostanza. 

 Dagli integrali Ut , U 3 , ... u p (coi periodi aj,-,jt) si passi agli integrali indipendenti Ui,U s , 

 ... U p (coi periodi fy,h), essendo 



i=p 



uj — \ (tj,i Ui . (./ = 1,2,.../)) 



e il determinante diverso da zero. 



Sarà 



»i.r = > f*j.i fìi.r (; = 1 , ...p ; r = 1 , 2 , ... 2p) , 



e quindi, posto 



da 



• ■ ■ _r 



> C r.t l'Jj.r Wfc.s = ( / , k = 1 , ... p ; / < k) , 



seguirà 



(«) N fjiif*k,f»at.m = [j , k = 1 ,.../);/< k) . 



Poiché a m ,i = — ai, m , le ai, m distinte e non nulle sono \p(p — 1) e si ottengono 

 tutte fissando di considerare soltanto quelle per cui /<[m. Le relazioni lineari omogenee 

 (a) che le legano sono appunto in numero di \p{p — 1); e in ciascuna delle (<*) il coef- 

 ficiente complessivo di una ai, m (l<im) è del tipo f*k,m — fà,m f*k.i , cioè è un mi- 

 nore del 2° ordine del determinante Ma allora, per un noto teorema di Sylvester, 

 le («) sono indipendenti, e le ai, m sono, come volevasi. tutte nulle. 



