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Ci riserbiamo pertanto di ritornarvi quando avremo utilizzato questa 

 stessa varietà per lo studio delle funzioni abeliane singolari : qui ci limi- 

 tiamo a far osservare che è facile assegnare un massimo per la dimensione 

 dello spazio lineare che dà coi suoi punti razionali, nel modo detto più sopra, 

 una rappresentazione della totalità dei sistemi nulli di Y p . 



Tale massimo è p* — 1, e può essere effettivamente raggiunto. 



13. Sia II un sistema nullo di Y p , privo di spazio singolare, e A un 

 sistema regolare di integrali riducibili di Y p della dimensione q — 1 ; un 

 sistema nullo come TI esiste certo, qualunque sia V^. 



L'asse Ai di A è un S S9 _! razionale, appoggiato are? secondo le 

 imagini a e a di A : dunque lo spazio polare di A! rispetto a IT è un 

 S 2 (p_ 9 )_] razionale, appoggiato are? secondo due spazi imaginarii coniu- 

 gati /? e /? della dimensione p — q — 1 ; ma allora questo S 2( ^_ 9) _i è 

 l'asse I?! di un sistema regolare B di Y p della dimensione p — q — 1 , e 

 quindi abbiamo, intanto, che: 



Se Y p ammette un sistema regolare di integrali riducibili della di- 

 mensione q — 1 , ammette pure un sistema regolare di integrali riducibili 

 delia dimensione p — q — 1 . 



14. Due sistemi regolari, come gli A e B del teorema precedente, per 

 cui esiste un sistema nullo di V }J non singolare, tale che rispetto ad esso 

 l'asse dell' un sistema sia lo spazio polare dell' asse dell' altro, si diranno 

 associati; due sistemi regolari indipendenti, le cui dimensioni abbiano per 

 somma p — 2, si diranno, col Severi, complementari ( 19 ). 



15. Siano A e B due sistemi regolari associati di integrali riducibili 

 di Y p ; saranno essi anche complementari, cioè indipendenti? 



La risposta è certo aifermativa se, per es., nè A nè B contengono un 

 sistema regolare di dimensione inferiore alla propria, e A e B sono distinti; 

 ma un caso assai più interessante, in cui la risposta è sempre affermativa, 

 è dato dal seguente teorema: 



Se esiste un sistema nullo principale di Y p , rispetto a cui gli assi 

 di A e B sono l'uno polare dell'altro, A « B sono non solo associati ma 

 anche complementari. 



Supponiamo, come è lecito, che A sia il sistema determinato dai q 

 integrali u t , u* , ... u q . e che la tabella (I) (Nota I) dei periodi primitivi 

 abbia l'aspetto 



(9) 



«1,1 • 



• • Wl,2 7 













• ■ «2,27 











«7,1 • 



- • «7,2? 







. 



«7 + 1,1 



• • «7-1-1,29 



«?H-1.2?+1 • 



. . o> 



Ù) Jhl .... fi) y ,.. 3</ «p,2 9 +l 



( IB ) Severi, loc. cit. 2 >, pa^. 585. 



