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per lo pfaffiano del determinante emisiinmetrico 



£1,2 C 1,3 • Gi,*q 



q C%,1 C 2 , 3 .... C 2 ,2q . 



C-2q.l Ciq,ì Cì, h ì 



dunque sarà certo 



(12) c + o. 



Ora l'asse A, del sistema regolare A è, nel caso in esame, i' S 2g _i di 2 

 secondo cui si tagliano gli iperpiani 



OC 2q-h ) — 0C-2p — . 



quindi il sistema nullo subordinato dal sistema nullo (10) in questo S 2? _ t 

 ha per equazione, nell' S tq _i medesimo, 



(13) 



1—29 



Crs Vr Xs = 



cioè l'equazione che si ricava dalla (10) sopprimendovi tutti i termini che 

 contengono coordinate con indice superiore a 2q . 



In virtù di (12), il sistema nullo (13) è certo non singolare, e quindi 

 Ai e Bj sono, come volevasi, indipendenti. 



Di qua, una volta che Y p ammette sempre un sistema nullo principale, 

 almeno, risulta subito il classico teorema di Poincaré : 



Se una varietà algebrica di irregolarità superficiale p ammette un 

 sistema regolare di integrali riducibili della dimensione q — 1 , ammetterà 

 anche un sistema regolare di integrali riducibili della dimensione p — q — 1 

 indipendente dal primo. 



Osservazione. — Gli integrali u y , u 2 ... u q , si possono riguardare 

 come q integrali semplici di 1* specie indipendenti di una varietà alge- 

 brica Y q di irregolarità superficiale q; ebbene per questa Y q l'asse A* di A 

 ha lo stesso ufficio che 2 ha per Y p e le imagini a e a di A hanno lo stesso 

 ufficio che t e t per Y p ; quindi il sistema nullo (13), che appunto ha due 

 spazi totali in a ed a, è un sistema nullo di Y q . Ma non basta. Siccome 

 le Ji ,J 2 » ••• 4 q involgono soltanto i periodi di i soli coeffi- 



cienti dell'equazione (13), le diseguaglianze che esprimono l' ipotesi fatta sul 

 sistema nullo (10) implicano, senz'altro, che anche il sistema nullo (13) è 

 in Aj un sistema nullo principale di V 9 ; dunque: 



Un sistema nullo principale di Y p induce nell'asse di un qualsiasi 

 sistema regolare appartenente a Y p un sistema nullo che è sistema nullo 



