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principale per la picardiana a cui competono gli integrali del conside- 

 rato sistema regolare. 



16. Il sistema nullo singolare avente per asse l'asse B L del sistema 

 indicato nel n. prec. con B e riflettente in A! il sistema nullo (13) è un 

 sistema nullo razionale avente in t e % due spazi totali; ora, dei due si- 

 stemi A e B, uno dei due, per es. B, è un qualsiasi sistema regolare di 

 integrali riducibili di V^; dunque: 



L'asse di un sistema regolare di integrali riducibili di Y p è pure 

 asse di un sistema nullo singolare di Y p . 



Con ciò è invertito il primo teorema del n. 11. 



17. Abbiamo visto che due sistemi regolari associati di V^, almeno sotto 

 qualche condizione, sono anche complementari ( ao ) ; invece : 



Bue sistemi complementari sono sempre due sistemi associati. 



E infatti, siano A e B i due sistemi complementari di Y p delle dimen- 

 sioni rispettive q — 1 e p — q — 1 ; Ai e B x i loro assi; a e a, £ e ^ 

 le loro imagini. 



Sia n x un sistema nullo razionale di A t che abbia due spazi totali in 

 « e a; un tal sistema nullo, per quanto risulta dal n. 15 esiste certamente. 

 Poi si indichi con n B il sistema nullo (razionale) di 2 che ha per asse Bi 

 e induce in Ai il sistema nullo n x . 



Evidentemente, ZZ B avrà due spazi totali in r e % . 



Si costruisca, procedendo in modo analogo, un sistema nullo razionale 

 di 2 , n k , che abbia per asse Ai e due spazi totali in x e x. 



I sistemi nulli del fascio determinato da n x e /7 B sono tutti, all' in- 

 fuori di ZZ A e Iì B , non singolari ; e rispetto a ciascuno di essi, Aj ha per 

 spazio polare Bi . D'altra parte, fra questi sistemi nulli ve ne sono infiniti 

 che sono razionali; dunque A e B sono, corno volevasi, associati. 



18. Fin qui non ci siamo valsi che delle corrispondenze stabilite fra 

 gli S fe ed S 2p -h-2 di 2 dai sistemi nulli di Vj, non singolari; ma anche 

 quelli singolari dànno luogo, nello stesso modo, a qualche conseguenza, su cui, 

 per altro, riteniamo inutile di fermarci adesso. 



19. Nei teoremi dimostrati è implicitamente contenuto il legame ri- 

 chiesto fra la presenza di sistemi regolari riducibili nel sistema degli inte- 

 grali (semplici di l a specie) di Y p e le relazioni di Riemann che interce- 

 dono fra i periodi di questi ultimi: basta, per accorgersene, enunciarli in 

 linguaggio algebrico, anzi che geometrico. 



Si ottiene così la seguente proposizione che involge e precisa il teorema 

 di Poincaré: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una varietà algebrica di 

 irregolarità superficiale p contenga un sistema regolare di integrali sem- 



(*") Che due sistemi associati possano non essere complementari si mostra subito 

 cori esempi. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 83 



