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Riprenderò la dimostrazione di quei risultati con un procedimento diretto, 

 indipendente da qualunque passaggio al limite. 

 Consideriamo gli integrali 



Tir , , „ C ~èr 



A = \ iig — da , B = \ Va — da . C = \ w a — da , 



Ja ~ÒV Ja J a ~ÒV 



ove r è la distanza di un punto generico (x y s) dello spazio dal centro 

 dell'elemento superficiale da . Questi integrali possono essere considerati 

 come potenziali Inarmonici di doppio strato, in quanto non differiscono dai 

 corrispondenti potenziali newtoniani se non per la sostituzione della funzione r 



alla - . Sia ora 



r 



e poniamo 



Ik 7)B 7>C 

 Si = \- -j— — 



ìx ~òy ~òz 



(7) 4n ( Ul , y, . io,) = « — + J,{k , B . C) . 



0(X . IJ , S) 



È assai facile di verificare che, per 



a ~ ~ i + 2,. , 



1j espressioni precedenti soddisfanno alle equazioni d'equilibrio 



( A + Ti + P J *( u ' w ' *°) = ' 



c'^tx- , y , Zi 



ove 



Esse sono regolari in tutto lo spazio, all' infuori che nella superficie a , ed 

 all'infinito si annullano come funzioni potenziali newtoniane di doppio strato. 



Per studiare le discontinuità delle espressioni (7) e delle corrispondenti 

 componenti di deformazione e di tensione sulla superfìcie a, mi servirò di 

 alcuni risultati che pubblicherò prossimamente negli Atti della R. Accademia 

 delle Scienze di Torino. Da essi risulta che le derivate seconde dei potenziali 

 biarmonici di doppio strato sono continue se contengono una sola derivazione, 

 nessuna, nella direzione della normale allo strato agente. Supposta l'orien- 

 tazione canonica degli assi, si ha poi, per le derivate seconde rispetto alla 

 normale, 



D D^] =8 ™° D [^] =87ry<i D [W\ =s7tw °- 



