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particolare in una proprietà di simmetria dei fasci conservativi di traiettorie 

 dinamiche, il che è quanto dire delle geodetiche di un arbitrario ds 2 . Nella 

 relativa metrica la proposizione generale appare anche più semplice dei 

 suoi corollari ottici. Ne illustrerò uno a titolo d'esempio, ricavando sotto 

 forma esplicita l'estensione della formula di Straubel ai mezzi anisotropi. 



1. Generalità - Enunciato del teorema. — Sia un punto di una 

 varietà V„ a n dimensioni, definita metricamente dal quadrato del suo ele- 

 mento lineare 



n 



{ 1 ) ds* = T i1t a i}! dxi dx k . 



i 



Consideriamo una geodetica G passante per e un circostante pennello 

 elementare (di geodetiche, spiccate tutte da 0). Sia l la lunghezza dell'arco 

 contato, su ogni geodetica del pennello, a partire da 0. Le ipersuperficie 

 (ipersfere geodetiche di centro e raggio /) / = cost tagliano ortogonal- 

 mente (') il pennello in campi dto ad n — 1 dimensioni. Fissiamo una di 

 queste ipersfere di raggio generico l . e sia 0' il punto di G che ad essa 

 appartiene. 



Il rapporto 



si può considerare come ampiezza angolare del pennello, misurata alla di- 

 stanza l. Negli spazi euclidei, il Sii è indipendente da l (= per es. al dw 

 dell' ipersfera di raggio L) e si può identificare coll'angolo solido del pen- 

 nello nel suo vertice 0. cioè con 



^ = lim^. 



In uno spazio di natura qualunque, dSì t varia, ingenerale, con l. e così il 

 rapporto 



f = J(0,0',, 



che misura manifestamente l'ingrandimento (angolare) in 0' d'un pennello 

 elementare di geodetiche, spiccate da verso 0'. 



Ciò posto, si consideri invece un pennello spiccato da 0' verso 0, e il 

 relativo ingrandimento angolare, in 0, J(0',0). L'annunciata relazione di 

 simmetria è espressa dalla formula 



J(0.0') = J(0',0). 



( l ) Cfr., per es., Bianchi, Lesioni di geometria differenziale, voi. I [Pisa, Spoerri, 

 1902], pp. 336-338. 



