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2. La distanza geodetica W(P , P') va risguardata come una funzione 

 simmetrica dei due punti P , P f , regolare, finché questi rimangono distinti, 

 entro una regione convenientemente limitata della varietà V„. Essa coincide 

 notoriamente coll'azione hamiltoniana di un sistema libero da forze, la cui 



energia cinetica abbia per espressione \ e si conservi = \ durante tutto 



U Oli Li 



il moto. Giova rammentarne, per quanto verrà in uso qui appresso, il com- 

 portamento differenziale caratteristico. 



Fissiamo, all'uopo, una geodetica generica, indicando con Xi le derivate 

 delle coordinate x% rispetto all'arco della stessa geodetica, e introduciamo 



le coniugate o momenti cinetici 



n 



(2) pi = y_ h a ih x H , 



i 



atte, al pari delle a?,-, a caratterizzare la direzione della geodetica in un 

 suo punto qualsiasi ('). L'identità 



n ■ 



(3) y_ ih a ik XiX H =l, 



i 



cui. per loro definizione, soddisfanno le Xi-, implica tra le p la relazione 

 quadratica reciproca 



(3') a™ pi Pk = 1 



(a iih) complementi algebrici delle a^ nel determinante da esse costituito, 

 divisi per il determinante stesso). 



Kiferiamoci in particolare alla geodetica congiungente P con P r . Siano 

 Xi , x'i le coordinate di questi due punti ; pi , p\ i valori che in essi assu- 

 mono i momenti, convenendo che essi corrispondano, in entrambi i casi, 

 alla direzione della geodetica che è rivolta verso l'esterno dell'arco PP' . 



Per arbitrari spostamenti infinitesimi di questi due punti, cioè per arbi- 

 trari incrementi dxi , dx\ delle loro coordinate, sussiste l' identità 



(4) d W = J_i Pi dx i + li v\ M (") , 



(') È manifesto che le pi non differiscono dalle A< di Eicci, cioè dal sistema coor- 

 dinato covariante della geodetica in questione. 



( a ) Non si dimentichi la convenzione fatta circa i versi positivi in P e in P'. Di 

 solito si presenta la (4) sotto la forma (emisimmetrica rispetto ai due punti P , P') 



n .n 



ma allora si intende che le p e le p' si riferiscano ad uno stesso verso di percorrenza 

 (da P verso P'). 



