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Il cerchio P 2 P[ P/ P 2 ' è cerchio zonale; e il polo P ;ìl incontro delle 

 zone Si 2 2 , è polo di faccia. Con ciò si vede che la zona P, P 2 ' . . . . , no- 

 male a faccia è ortogonale alle zone date. 



Si possono assumere come assi di riferimento le due zone ^ e P t P 3 , e 

 come faccia unitaria P 2 nella comune zona di Z 2 e Pi . Se Q, e Q/ sono i poli 

 di qualsiasi faccia nella stessa zona facente con Z, l'angolo a , saranno 

 anche Q 2 e Q 2 ' i poli di una l'accia nella stessa zona facente con P/ l'an- 

 golo « , poiché nel quadrante P/ P 3 Z_> le relazioni fra i parametri della 

 faccia unitaria Z, e quelli della faccia Q., saranno le stesse come nel qua- 

 drante Z 2 Pi P?, , fra i parametri della faccia P 2 e quelli della faccia Q, ; 

 e poiché l'angolo fra Qi e Q 2 è $0°, si conclude che la qualsivoglia faccia Q, 

 ha per zona normale la P ;i Q 2 , come a sua volta la faccia Q 2 ha per zona 

 normale la P :ì Q! ; e così tutte le zone contenute nella faccia P 3 sono zone 

 normali a facce, ed esse sole sono tali. 



Due zone normali a facce inclinate fra loro, possono dar luogo a tre 

 casi distinti ed importanti, secondo che, fra le innumeri zone contenute 

 nel loro piano comune, ci siano gli angoli di 45°, di 60° ovvero nessuno 

 dei due. 



Infatti indichiamo con a , l> i parametri fondamentali determinati dalla 

 faccia unitaria P 2 sugli assi di riferimento Pi P 3 e . 11 loro rapporto è 



a , 

 - = tagy 



essendo </> 1 angolo che P 2 fa con P! . 



La faccia Z, normale a P 2 nella zona principule deve avere per rap- 

 porto dei suoi parametri 



Y cotag g> 



salvo il segno; i due primi indici di Zi sono allora nel rapporto 



li a a x s 



il quale, dovendo essere razionale, conduce a 



tag 5p = "j/ N, o multiplo, 



essendo N razionale. 



Ed ecco ora i casi possibili e distinti: 



Per N = 1 , sarà y> = 45° 

 » N = 3 » (p = 60° e 



» N = 2, 5, 6, ecc. sarà y> diverso di 45° e 60°, ma prossimamente 



a questi. 



