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Si comprende che le condizioni date dal 4° teorema soddisfano ai sistemi 

 dimetrico ed esagonale: al primo, se fra gli angoli di due facce nella zona 

 principale ci siano 45° ; al secondo, se ci siano 60°. 



Il terzo caso, quando cioè <p è diverso di 45° e 60°, entra nel 5° teo- 

 rema per casi speciali come è facile rendersi conto. 



5° Teorema. Due sone normali a facce fra loro ortogonali traggono 

 con sè l'esistenza di una tersa sona normale a faccia, ed una sola. 



Questo teorema non è che la conseguenza immediata del 4° teorema, 

 poiché, se ivi l'angolo <p fra le due zone normali a facce è di 90°, per ogni 

 e qualsiasi faccia contenuta nella zona principale non si ottiene la zona 

 normale. Le tre zone gj s 2 e £3 sono ortogonali, e si assumono quali assi 

 di riferimento. Tuttavia vi possono essere dei casi speciali, come è apparso 

 nel 4° teorema, nei quali tutte le zone di una zona principale possono avere 

 faccie normali, ma in tali casi sono esclusi gli angoli di 45° 60°. 



1° Corollario. Data l 'esistenza di una sola sona normale a faccia, 

 la sona non può essere che asse di simmetria 2-ri, nè mai asse spe- 

 culare. 



Se infatti quest'asse fosse S-rio, i-rio, 6-rio, ogni faccia in esso con- 

 tenuta sarebbe normale a zona, contrariamente alla premessa. Altrettanto 

 dicasi di un asse speculare i-rio 6-rio. 



I cristalli aventi una sola zona normale a faccia sono monoclini. 



2° Corollario. Data resistenza di tre sole zone normali a facce, 

 esse non possono essere che assi di simmetria 2-ri, nè mai assi spe- 

 culari. 



Le tre zone devono essere ortogonali, come risulta dal 5° teorema. Se 

 esse fossero assi di simmetria 3-ri, i-ri 6 -ri, assi speculari i-rio 6-rio, 

 ciascuna faccia contenuta in una di esse, ove ciò ha luogo, sarebbe normale 

 a faccia, contrariamente alla premessa. 



I cristalli dotati di tre sole zone normali a facce, appartengono al tri- 

 metrico. 



6° Teorema. Tre sone normali a facce inclinate fra loro sono con- 

 dizione necessaria e sufficiente perchè ogni faccia sia normale a sona. 



Siano Zi , Sì, z-i, le tre zone, fig. 7, non giacenti in un piano, con le facce 

 rispettivamente normali P, . P 2 , P : , . Per semplicità si sono assunte due di 

 esse zone, Zi e z 2 , perpendicolari fra loro, senza che perciò scemi la genera- 

 lità del problema, purché la zona s 3 non giaccia nè nel piano Si Zo nè nelle 

 facce Pi P 2 . 



Si osservi che la zona P 3 determina con la zona Pj P 2 la faccia N , N' , 

 ed essendo P 3 ed facce normali a zone ed inclinate fra loro, ne segue 

 che N è faccia normale a zona in virtù del 4° teorema. 



Sia ora una qualsivoglia faccia, di cui si vuol dimostrare che è nor- 

 male a zona. Si conducono le due zone Q, P :! e Q, P 3 ' , le quali determinano 



