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Matematica. — // teorema del valor medio. Nota di Guido 

 Fubini, presentata dal Socio C. Segre. 



Nella teoria degli integrali multipli manca, a quanto io so, una gene- 

 ralizzazione del teorema del valor medio, che pure ha tanta importanza 

 per la ricerca delle funzioni primitive di una funzione di una sola variabile. 

 Cosicché non è ancora dimostrato che una funzione additiva di insieme sia 

 determinata dalla sua derivata. Queste domande mi sono state suggerite 

 dalle esigenze dell'insegnamento per una esposizione elementare della teoria 

 degli integrali multipli. Questi problemi diventano banali, nei casi che l'in- 

 tegrale (inteso anche al modo del Lebesgne) della derivata esista, e sia 

 ugnate alla funzione primitiva. In una precedente Nota (') ho già trattato 

 di tali questioni ; nella presente ricerca do alcuni teoremi che, sotto certi 

 riguardi, esauriscono la questione proposta. Per chiarezza ripeterò alcune 

 definizioni. 



Sia J un dominio misurabile ad una, due o tre dimensioni. Con la 

 lettera T indicherò sia un qualsiasi dominio parziale di J, sia la sua mi- 

 sura (per es., lunghezza, area, volume, ecc.). Diremo che / è funzione di T, 

 se per ogni tale dominio T è determinato uno e un solo valore /'(T) della f ( 2 ). 

 Se per ogni terna di dominii parziali T,T, ,T 2 tali che T — T, -f-T 2 è 

 /'(T) = /'(Ti) -j- /'(T 2 ) , la f si dirà funzione additiva. Se T è un campo 



f(T) 



parziale, e se esiste ed è finito il limite ( 3 ) di , quando la massima 



distanza tra un punto variabile in T, e un punto fisso A di J tende a zero, 

 tale limite si indicherà con /'(A) e si chiamerà la derivata di /'(T) nel 

 punto A ( 4 ). 



( l ) Esiste un corpo pesante a densità nulla ?. Rendic. della R. Accad. delle Scienze 

 di Torino, 1915. Il risultato di questa nota è ricordato più avanti; il suo titolo invece 

 non è stato scelto bene, perchè se la derivata (densità) è nulla, ad essa si possono 

 applicare i teoremi del Lebesgue. 



( 3 ) Definizione e notazione ariatto .simili a quelle usuali per le funzioni di una sola 

 variabile. Valgono osservazioni critiche affatto analoghe a quelle che si possono svolgere 

 in questo caso elementare. 



( s ) Sul significato della parola limite in questo caso non possono sorgere ambiguità. 



(*) Se J è un intervallo T un intervallo x t -^==. co X 2 con a<-X x — 



<-X-ì^=-h, se q>(%) è una funzione della x definita in J, ed f[T) = (p(Xi) — <p(Xj), allora 

 la definizione qui data per /"'(A) coincide con l'ordinaria per la derivata di q> nel punto A 

 con questa sola differenza. Per calcolare la derivata di cp nel punto A si suppone di 

 solito che T sia un intervallo avente un estremo in A, mentre per calcolare la derivata 

 di f secondo l'attuale definizione si suppone soltanto che i due estremi di T tendano al 

 punto A. 



