Così, se J è una lamina, o un corpo pesante, ed f(T) è il peso del 

 suo pezzo T, allora /"(A) vale la densità in A . Così, se f(T) è l' integrale 

 esteso a T di una funzione continua y> delle coordinate di A, allora f'(A) 

 vale <j(A), cioè il valore dell'integrando nel punto A. 



Le domande più importanti sono le seguenti: Supposto /'(T) deriva- 

 bile in ogni putito 



1°) è possibile estendere i teoremi di Halle e del valore medio ? 

 2°) la funzione /'(T) è completamente determinata dalla conoscenza 

 di f'(A)9 



A queste domande nella mia Nota citata ho dato risposta affermativa 

 con questa ulteriore ipotesi. Se per es. J è un dominio del solito spazio 

 {x ,y , z) si suppone che il valore di /'(T) corrispondente a un dominio 

 parziale compreso tra due piani n' , n" paralleli a un piano coordinato tenda 

 a zero, quando tende a zero la distanza dei due piani ri , ri'. Ma, anche 

 per capire le ragioni intime del solito teorema del valor medio, è assai 

 importante rispondere alle domande l a ) e 2 a ) senza imporre alcuna ipotesi 

 (oltre a quella che f(T) sia additiva e derivabile). Per giungere a tale 

 risultato si osservi che l'ordinario teorema del valor medio si può enunciare 

 nel modo seguente: 



A) Se (p{x) è una funzione derivabile nell'intervallo a <. x <b , 



^ <f(b) — <p(a) , ....... 



allora il numero <P — — ^-r — e un numero compreso tra i limili 



b — a 



superiore L ed inferiore l della g>'(x) nell'intervallo (a , b). Ed anzi, se 

 L ^> l , allora proprio L ^> Q> ^> l , cioè <P non coincide nè con L , nè con l . 



B) (Teorema di Darboux). Se <1> è un tale numero compreso tra L 

 ed l, esiste almeno un punto c dell' iner vallo (a , b) tale che cp r (c) = <I>. 



Dai due teoremi (A) e (B) segue l'ordinario teorema della media. 



Qui dimostreremo che il teorema della media enunciato nella forma A) 

 vale proprio per le funzioni additive più generali (mentre il teorema della 

 media, enunciato nella forma usuale, è stato dimostrato soltanto con l'ipo- 

 tesi restrittiva su ricordata) ; e ne dedurremo la risposta alla domanda 2 a ). 



Se /'(T) è funzione additiva e derivabile dei domimi T parziali di 

 un dominio finito e misurabile J, e se L , l sono i limiti superiore ed 

 inferiore dei valori /''(A) della derivata f nei punti A di J, allora 



L .> >l. Ed anzi, se L > / , è proprio L > > l ('). 

 J J 



Supponiamo positiva la misura dei campi T. Indichiamo con s un 



numero positivo arbitrario. La derivata di g(T) = / (T) — (L -j- £ ) T vale 



(') Si suppone f derivabile anche sul contorno di J (ipotesi inutile se J è un seg- 

 mento ad una dimensione). 



