/' — L — s ed è sempre negativa (' ). Io dicoche anche g(T) può assumere 

 soltanto valori negativi. Sia infatti T, un dominio parziale tale che #(T\) _> 0. 

 Scomponendo T, in due dominii parziali T 2 , tali che T, = T 2 -j- T 2 sarà 

 ^(T,) = g{T 2 ) -f g{%) 0. Quindi almeno uno dei due addendi g(T t ) , g(%), 

 non è negativo. Sia p. es. #(T 2 ) >. . Scomposto T 2 in due campi parziali 

 T 3 , % , almeno uno degli addendi g(T 3 ) , g(%) non è negativo. Sia p. es. 

 </(T 3 ) >.0. E così via. 



Possiamo facilmente determinare una legge di divisione in campi par- 

 ziali, in guisa che i campi T, , T 2 , T 3 , ecc., abbiano a comune un solo 

 punto A, in altre parole in guisa che esista un punto A tale che la mas- 

 sima distanza da A ad un punto di T w tenda a zero per n = co . 



Allora <?'(A) è anche il lim , cioè è il limite di una frazione 



positiva o nulla. Sarebbe quindi g'(A) > contro quanto abbiamo osservato. 



È dunque g(T)<0, cioè f(H) — (L + s) T < 0, cioè ^<L + e. Fa- 



f(T) 



cendo tendere t a zero, si trova — |jp <. L . In modo analogo si trova 



AT) >/ 

 T 



Supponiamo ora L>Z. Sostituendo, caso mai, lo studio della /(T) — LT 



a quello della /(T), possiamo supporre L = 0, e quindi l negativo. Da 



AT) 

 T 



quanto abbiamo già provato segue che per ogni campo par/ iale T è '-^ < 0, 



e quindi /(T) < . Sia, se possibile, Qp=L, cioè f{J) = 0. Sia T, un 



qualsiasi campo parziale, e T 2 il campo complementare J — Ti . 



Sarà f(T x ) < , f(T 2 ) < . Poiché = /'(J) = /'(T,) + /'(T 2 ) , sarà 

 proprio /'(Ti) = 0. Cioè la f sarà identicamente nulla. Altrettanto avverrà 

 quindi di f e di l. Sarebbe dunque, contro l'ipotesi, L = l. 



Se ne deduce tosto la risposta alla seconda domanda col seguente teo- 

 rema : 



Se due funzioni additive e derivabili /(T) , g(T) hanno derivate 

 (finite) uguali, esse sono uguali. 



Infatti, dalla f = g' si deduce che f(T) — g(T) ha derivata nulla. 

 I limiti superiore ed inferiore di tale derivata sono dunque nulli. Per il 

 teorema precedente è dunque /'(T) — g(T) = 0, cioè f(T) = g(T). 



Questo risultato si può riguardare come punto di partenza per la ricerca 

 delle funzioni primitive di una funzione data: ricerca che ha così intimi 

 contatti con la teoria degli integrali multipli. E resta in modo affatto 

 elementare reso evidente il legame fra tale teoria, e quella degli ordinarli 

 integrali definiti. 



(') Qui si suppone L finito. Se fosse L = -|~ 00 • °n n i dimostrazione sarebbe eviden- 

 temente superflua. 



