— 878 — 



alle curve iperspaziali. In questa Nota e nella successiva, riassumo i risultati 

 da me ottenuti in proposito, riserbandomi di tornarvi in seguito, con una 

 Memoria più ampia. Tuttavia do fin d'ora notizia non soltanto dei risultati, 

 ma anche dei procedimenti dimostrativi, per ciascun dei quali indico le 

 argomentazioni essenziali. 



Dimostro anzitutto che, per n^p-\-r, le Gp (d'ordine n e genere p) 

 di S r , formano una sola famiglia (varietà algebrica irriducibile) di dimen- 

 sione regolare v = n(r -\- 1) — (p — 1) (r — 3) (*). La curva generica di 

 questa famiglia, è non speciale, e la famiglia stessa dicesi perciò non spe- 

 ciale. Anche per p^> n — r >. ? ^ e formano in S r una sola fa- 

 miglia regolare, ma la curva generica è in tal caso speciale e normale. 



Questi teoremi son fondati essenzialmente sul fatto che la varietà alge- 

 brica delle curve piane irriducibili d'ordine n e genere p , è irriducibile ( 3 ). 



Definito poi che cosa deve intendersi per n-latero (connesso) di genere 

 virtuale (o effettivo) jo(>_0), ne deduco, mediante semplici considerazioni 

 proiettive, che, dato in S r (r >. 2) un /blatero L di genere effettivo p >. 0, 

 esistono sempre curve razionali (irriducibili) d'ordine n, infinitamente vi- 

 cine ad L. 



Ciò mi permette di concludere che alla varietà V delle curve piane 

 irriducibili Cp 1 , appartiene ogni blatero piano; e da questo, mediante una 

 delicata analisi topologica, deduco quali sono tutti i possibili spezzamenti 

 delle curve di V. 



Una conseguenza notevolissima delle considerazioni svolte è il teorema 

 d'esistenza delle funzioni algebriche d' una variabile, che viene così sta- 

 bilito con mezzi semplici e luminosi, di carattere algebrico-geometrico , i 

 quali son di certo più appropriati alla natura algebrica della questione, 

 di quanto non lo sieno gli strumenti finora usati per la dimostrazione 

 classica del teorema di Riemann (funzioni armoniche e problema di Di- 

 richlet) ( 4 ). E quando parlo del teorema di esistenza, intendo alludere non 

 soltanto all'arbitrarietà nella scelta dei 2n -f- 2p — 2 punti di diramazione 

 della funzione algebrica ad n rami, di genere p, che si vuol costruire, ma 

 anche alla possibilità di assegnare ad arbitrio le sostituzioni fra gli n rami, 

 attorno ai singoli punti di diramazione. 



('-') Per r = 3 il risultato trovasi in Halphen, Mémoire sur la classiftcation des 

 courbes gauches algébriques (premiata col premio Steiner 1882) (Journal de l'Ecole 

 polyt., 52, 1882). Ma l'A., non avendo precisato sufficientemente il concetto di « famiglia 

 di curve gobbe", non si ferma a dimostrare che le Cp di S 3 , per »->jo-|-3, costitui- 

 scono una sola varietà algebrica irriducibile. 



(°) Cfr. Enriques, Sui moduli d'una classe di superficie algebriche, ecc. (Atti della 

 R. Accad. delle Scienze di Torino, 47, 1912), n. 1. 



(*) Veri, ad es. Picard, Traité d'analyse (Paris, Gauthier-Yillars, 1905, 2 òme éd.), 

 tom. II, chap. XVI. 



