— 879 — 



Continuando (Nota II) lo studio delle curve di S r (r >. 3), distinguo i 

 punti doppi che possono acquistare particolari curve di una data famiglia V, 

 in propri ed impropri, secondo che abbassano o no il genere delle curve 

 della famiglia che li acquistano ( 5 ). I primi importano lo spezzamento della 

 sviluppabile osculatrice alla curva che li acquista, ma non lo spezzamento 

 della congruenza delle corde; mentre per gli altri accade il contrario. 



Nel n. 6 (Nota II) sono finalmente in grado di dimostrare che ogni 

 famiglia non speciale di C£ (n^p-\-r) possiede curve limiti così costi- 

 tuite: un (n — p)-latero connesso attraverso ad n — p — 1 nodi, insieme 

 a p corde generiche di questo. 



Stabilisco quindi, nel n. 8, l'esistenza di infiniti n-lateri di genere p, 

 in ogni famiglia, anche speciale, di curve irriducibili Cp di S,. , rispon- 

 dendo così alla questione posta dall'Accademia danese. 



Cammin facendo, mi si offre il destro di contare in modo rigoroso l'infi- 

 nità delle g r n speciali, esistenti sopra una curva di dato genere p, a moduli 

 generali (n. 3). Questo computo veniva fatto, con Brill e Noether ( 6 ), am- 

 mettendo implicitamente un postulato. 



Alla questione di decidere se un dato M-latero connesso di genere effet- 

 tivo p, appartenente ad S,-, si possa sempre considerare come il rappresen- 

 tante tipico d'una famiglia di curve irriducibili di S,-, rispondo in modo 

 affermativo nel n. 9. Ma il risultato non è ancora così espressivo come avrei 

 desiderato, perchè può darsi che la famiglia definita sia di genere q <^p . 

 A proposito delle condizioni complementari cui deve sottoporsi un w-latero 

 di genere effettivo p, perchè esso definisca una famiglia di curve, senza punti 

 doppi, di genere esattamente uguale a p, mi sono limitato a riferire le mie 

 induzioni e ad indicare i mezzi per giungere al risultato definitivo, che 

 spero di poter dimostrare in seguito ( 7 ). 



Questa distinzione mi è già stata molto utile nella Nota, Trasformazione bira- 

 zionale di una superficie algebrica qualunque, in una priva di punti multipli (Questi 

 Rendiconti, 23, 1914), pag. 527. 



(*) Brill Noether, Ueber die algebraischen Funklionen, ecc. (Math. Annalen, 7, 1873), 

 §§ 9-12; Noether, Zur Graudlegung der Theorie der algebraischen Raumkurven (pre- 

 miata col premio Steiner 1882) (Berlin. Abh. 1882), pag-, 18. Ved. pure Picard, op. cit., 

 pag. 570. 



( 7 ) Avrei potuto rinviare a più tardi la pubblicazione del presente lavoro, in modo 

 da inserirvi anche la dimostrazione di questo risultato, se non avessi creduto che la 

 situazione politica che si va maturando pel nostro Paese, non consentirà fra breve a 

 molti di noi di poter attendere con tranquillità alla ricerca scientifica. Avendo comuni- 

 cato al sig. Zeuthen, nel marzo scorso, i risultati delle mie ricerche, ne ebbi l'incitamento 

 a pubblicarle subito. Lo Zeuthen anzi, in risposta alla mia comunicazione, mi scriveva 

 in data 29 marzo 1915: « Je crois avoir aussi de mon coté trouvé le moyen de démontrer 

 l'existence des courbes dégénérées... mais mes recherches sont encore loin d'étre achevées ».. 



