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Termino la Nota II indicando i vari problemi a cui portan nuova luce 

 i risultati precedenti (questioni di postulazione, problemi numerativi, que- 

 stioni di realità delle curve algebriche). Quanto ai problemi numerativi, la 

 conclusione è, come si prevedeva, che le formole ottenute mediante gli spez- 

 zamenti delle curve, non soffrono eccezioni o limitazioni. 



1. Preliminari. — Parlando di famiglia di curve di dato ordine n 

 in S r , intendiamo di alludere, con Noether, ad una varietà algebrica V di 

 curve, irriducibile, come insieme de' suoi elementi (curve) e completa, cioè 

 che non sia contenuta in una più ampia di curve dello stesso ordine. Una 

 sottofamiglia è una varietà irriducibile V di curve d'ordine n, completa 

 relativamente ad un'assegnata proprietà delle sue curve. 



Due famiglie di curve dello stesso ordine hanno generalmente in co- 

 mune una o più sottofamiglie. 



Dalla definizione di famiglia di curve, segue subito che ogni sistema 

 continuo^ cui appartenga una curva scelta genericamente entro una fa- 

 miglia V, giace interamente in V. 



2. Irriducibilità della varietà di tutte le curve irriducibili 

 di dato genere f e della varietà di tutte le curve piane irridu- 



. (n — !)(» — 2) { j 



CIBILI DI ORDINE 71 CON (1 = ^ 1 — f PUNTI DOPPI. — Le 



curve piane di ordine n, con d punti doppi, formano una varietà 2 di 

 dimensione 3n -f- p — 1 , alla quale appartiene la varietà V delle curve 

 irriducibili di ordine n e genere p. Oltre a questa, vi sono d'ordinario 

 in 2 altre varietà oo 3n+ * -1 , di curve spezzate, con d punti doppi; ma quel 

 che importa di osservare è che la varietà V, di dimensione Sn-\-p — 1, 

 è irriducibile. Questo fatto, come ho detto, è già stato segnalato da Enriques, 

 il quale, trattando incidentalmente la questione, si è limitato ad esporre 

 le linee essenziali del procedimento dimostrativo, che io mi propongo di 

 sviluppare più ampiamente nella Memoria cui queste Note preludono. 



La semplice dimostrazione di Enriques, è strettamente geometrica. Da 

 essa segue subito che le curve di dato genere p , formano una varietà 

 algebrica H irriducibile (avente per elementi le classi di curve di genere p 

 birazionalmente identiche). 



A questo medesimo risultato si perviene d'altronde facilmente poggian- 

 dosi sul teorema d'esistenza di Eiemann ( 8 ). Basta all'uopo osservare: che 

 ogni curva di genere p, può rappresentarsi sulla retta (sfera complessa) 

 w-pla, con 2n -f- 2p — 2 punti di diramazione semplici, sempre che sia 

 p. es. n^>2p; che ordinati i cappi (o le sostituzioni) inerenti ai singoli 



( 8 ) La cosa trovasi già accennata in Klein, Weber Riemanns Theorie der algebrais- 

 chen Funktionen (Leipzig, 1882), pag. 66; oppure, Riemannsche Flàchen (Autogr. Vor- 

 lesungen, Gottingen, 1894), I, pag. 117. 



