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rispondenti ciascuno ad una g r n completa, d risulterà anche in tal caso 

 espresso da (1) ( 10 ). 



Ma tutto ciò è subordinato all' ipotesi che le condizioni contate siano 

 fra di loro indipendenti; e quest'indipendenza non può affatto a priori 

 giustificarsi colla generalità dei moduli di r. Per completare in questo 

 punto delicato la valutazione dell'infinità d, io procedo così: Le curve 

 canoniche r, in virtù di quanto s'è detto al n. 2, formano nello S p -i una 

 sola famiglia, dipendente da k — {p — 1) (p -f- 4) parametri. Entro questa 

 famiglia vi sono oo" -1 curve irriducibili jT , di genere p — 1, con un punto 

 doppio, costituenti una sola sottofamiglia, giacché ognuna delle F è ima- 

 gine proiettiva della serie staccata sopra una curva piana d'ordine jo-f-1, 

 con \p{p — 3) -j- 1 punti doppi, dalle curve d'ordine p — 2 passanti per 

 ip(p — 3) di questi punti. Una r o si proietta dal suo punto doppio, sopra 

 un S p -2, secondo una curva canonica del genere p — 1. Viceversa, ogni tal 

 curva canonica può considerarsi come proiezione di una (anzi di infinite) F 9 . 



Supposto dimostrata la formola (1) pel genere p — 1. si assuma una r o 

 a moduli generali, col punto doppio 0, e si contino i suoi spazi plurisecanti, 

 desumendoli da quelli di una curva canonica del genere p — 1, e tenendo 

 conto che, quando una r va in F , la varietà delle corde di r ha per 

 limite la varietà delle corde di r o (perchè è un punto doppio proprio, 

 ved. n. 5), e che inoltre le sole corde improprie di r , sono le sue tangenti 

 e le rette del fascio individuato dalle due tangenti in . 



Così ad es. la curva canonica r s del genere 5 (in S 4 ) non può avere 

 alcuna trisecante, perchè il gruppo G 3 relativo, individuerebbe una gl, cioè r 

 possiederebbe infinite trisecanti, e quando r tendesse verso una r generica 

 col punto doppio 0, si avrebbero, come limiti delle co 1 trisecanti di r, 

 oo 1 trisecanti effettive di r e per un punto generico M di r o ne passe- 

 rebbe un numero finito. Facendo avvicinare M ad 0, se ne trarrebbe che la 

 più generale curva canonica del genere 4 (in S 3 ) possiede punti doppi. 

 Similmente r non può possedere più che oo 2 piani quadrisecanti, perchè 

 altrimenti la curva canonica del genere 4 possiederebbe più che oo 1 trise- 

 canti, ecc. ("). 



( 10 ) Se i moduli son generali, l'ordine e la dimensione di una g r speciale completa, 

 soddisfaranno quindi alla d -^-0, la quale, introducendo l'indice di specialità i=p — n-\-r 

 della g r n , può scriversi sotto la forma n^.(i-\-\)r. Si ha cosi un'estensione del teorema 

 di Clifford, valida sulle curve a moduli generali. A quali condizioni particolari deve 

 soddisfare la curva, perchè una g* speciale completa abbia n<i(i-\-ì)r? Per i = 2, 

 n <Cp — 1, il Comessatti ha trovato che la g r n deve essere composta con una y*. 



(") Naturalmente, nel caso speciale della r\, tutto ciò deriva anche dal fatto ch'essa 

 è completa intersezione di 3 quadriche. 



