— 883 — 



In tal modo dunque si verificherà, in generale, che r non possiede 

 più spazi «-secanti di quanti son dati dalla (2), e ne seguirà la validità 

 della (1) per qualunque p. 



Quanto alle g r ri speciali incomplete, la loro infinità è minore di (1); 

 cosicché la loro aggiunta non altera l'infinità d delle g r n contenute in T. 

 Se ne trae subito, come hanno fatto Brill e Noether per r=3, che le curve 



r 



irriducibili C£ dello S r , quando n -> ^ ~~j"~ J.ff ~f" r » dipendono da 



(3) v = n{r-{-l) — {p — l)(r — 3), 



costanti. 



Per n >.p-\-r (r >l 2) un generico gruppo di n punti sopra una r p 

 (a moduli anche particolari) è non speciale, e individua pertanto una g n n ~ p 

 di dimensione n — p^r, cosicché le C p di S r , birazionalmente identiche 

 a r p , formano una varietà irriducibile di curve generalmente non speciali. 

 Se ne deduce (n. 2) che: 



Per n -> p + r > le curve Cp di S r (r _> 2) formano una sola famiglia 

 di dimensione (3), la cui curva generica è non speciale {e normale in S„_ p ). 



Una tale famiglia si chiamerà una famiglia non speciale di curve di S r . 



T 



Per r + ^-p— p <_ « < j9 + r sopra r p ogni g£ è speciale 



ed è generalmente completa. In tal caso però la varietà delle g r n su T, p 

 non è sempre irriducibile ( 12 ). Comunque, un procedimento analogo a quello 

 già accennato (passaggio dal genere p — 1 al genere p), mostra che, facendo 

 circolare r p nella propria famiglia, si riesce a scambiare fra loro le diverse 

 parti della suddetta varietà. Si può dunque anche in tal caso affermare che: 



r 



Per p^>n — r >. - - p le Cp di S r formano una sola famiglia, 



di dimensione (3), la cui curva generica è speciale e normale. 



4. Sistemi connessi di rette. Dimostrazione geometrica del teo- 

 rema di esistenza di Kiemann. — Un sistema connesso di n rette con 

 n-\-p — 1 (p >_ 0) intersezioni semplici (nodi), si chiamerà brevemente 

 un n-latero di genere effettivo p. Gli n-\-p — 1 nodi si considerano come 

 punti in cui si può passare da un lato (ramo) all'altro; si riguardano cioè 

 piuttosto come « punti di diramazione » che come punti doppi. Si dice perciò 

 che essi si considerano come virtualmente inesistenti, rispetto alle loro qua- 

 lità di punti doppi, che non permetterebbe il salto da un ramo all'altro. 



Se dei suddetti nodi effettivi, se ne possono considerare come inesistenti 

 soltanto n -f- q — 1 (q <Cp) . senza die per questo lo n-latero divenga 



( M ) Si pensi p. es. alle due <?' distinte esistenti sopra la curva canonica del genere 4. 



