La varietà delle curve piane irriducibili d'ordine n con 



(n — l)(n — 2) 

 d - 2 



punti doppi, contiene tutti i possibili n-lateri piani. 



Un'altra conseguenza notevole, la quale del resto potrebbe dimostrarsi 

 anche profittando del teorema riemanniano d'esistenza, è la seguente : 



, ,1 ■ i < ■ t ■ ■ j (» - 1) (» — 2) 7 . 

 Avendosi un n-latero piano L , st assegnino d <. — dei 



suoi punti doppi \ per modo che coi rimanenti n ^ n — — d nodi si 



u 



possa stabilire la connessione fra gli n lati. Esiste allora sempre qualche 

 curva irriducibile d'ordine n, infinitamente vicina ad L, la quale pos- 

 siede d , e soltanto d , nodi, infinitamente vicini agli assegnati. 

 Ecco la semplice dimostrazione geometrica di questo teorema. 



Posto p = — — — d, fra gli n-\-p — 1 nodi, che si vo- 



gliono considerare inesistenti, se ne potranno assegnare p, in modo che lo 

 rc-latero resti connesso (e di genere virtuale zero). Dopo ciò si potrà costruire 

 una curva razionale D, infinitamente vicina ad L, e con p -j- d nodi infi- 

 nitamente vicini ad altrettanti vertici di L , tra i quali vi sono i d primi- 

 tivamente assegnati. 



Nella varietà V delle curve piane irriducibili esistono dunque curve 

 infinitamente vicine ad L, e coi d nodi infinitamente vicini agli assegnati: 

 p. es. la curva D . Queste curve non possono tutte in conseguenza avere 

 d -j- 1 (o più) punti doppi, perchè entro V gli elementi (curve), infinita- 

 mente vicini ad un elemento dato (L), son più numerosi che gli elementi 

 infinitamente vicini ad L, entro una varietà subordinata a V, qual'è quella 

 delle curve irriducibili d'ordine n con d -f- 1 nodi. 

 Dal teorema precedente segue quest'altro : 



Alla famiglia V delle curve piane irriducibili d'ordine n e ge- 

 nere p , appartiene ogni curva composta da una curva irriducibile di 

 ordine n — 1 e genere p — 1 e da una retta. 



Prese infatti n rette generiche ai , a 2 , ... , a» del piano, si « assegnino » 

 (n — 1) (n — 2) 



d 



i -f- 3 (d = — — pj vertici dello (n — l)-latero a x a 2 



... a n - x , per guisa che esso resti connesso, e si chiami K la curva d'ordine 

 n — 1 e genere virtuale p — 1, così ottenuta. Aggiungendo a K la retta a n , 

 se si assegnano g4i n — 1 punti ove a n sega K , si ottiene una curva scon- 

 nessa D , d'ordine n e di genere virtuale p — 2 ; se invece si assegnano 

 soltanto n — 3 delle suddette intersezioni, e si considerano come inesistenti 

 le altre due P,Q, si ottiene una curva connessa C d'ordine n e di genere 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 113 



