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virtuale p. Ora, pel teorema precedente, vi sono curve irriducibili di V, 

 infinitamente vicine a C e coi d nodi infinitamente prossimi agli asse- 

 gnati; e poiché esistono oo ?i {h = 3n-\-p — 3) curve di V passanti per 

 P , Q , e tra esse v' è C , così esisteranno oo''- 1 curve di V, passanti per 

 P, Q , infinitamente prossime a C e coi d nodi infinitamente vicini agli 

 assegnati. Ciascuna di queste curve, in quanto passa per P , Q ed è infini- 

 tamente vicina a C , ha un nodo infinitamente prossimo a ciascuno dei 

 punti P,Q ( 13 ), sicché è una curva infinitamente prossima alla D , coi 

 suoi d -f- 2 punti doppi assegnati. Ne consegue che D appartiene a V, e 

 precisamente alla totalità 2 delle curve di V con d -f- 2 nodi, la qual tota- 

 lità ha dimensione non inferiore ad h. La 2 potrà ben essere riducibile 

 (anzi, come vedremo, lo è effettivamente) ; ma comunque D giacerà in una 

 parte irriducibile W di 2, di dimensione almeno uguale ad h. Poiché una 

 particolare curva, D , di W, è sconnessa, lo saranno tutte ( u ): la curva 

 generica D di W risulterà cioè composta da una parte E , d'ordine n — 1 

 e genere virtuale p — 1 e da una retta a. Dico che E è irriducibile. Invero, 

 se E fosse spezzata in l curve E, , E 2 , ... , Ex di ordini n, , n 2 , ... , n\ e 

 di generi p x , p 2 , ... , p->. con t punti d' intersezione da considerarsi come 

 inesistenti, sarebbe p — 1 = 2p { -f- t — A — |— 1 , e poiché E è connessa, do- 

 vrebbe essere t ^> 0. Ora, una curva irriducibile, d'ordine ni e genere pi, 

 dipende da 3?ii-\-pi — l costanti; sicché E dipenderebbe al più da 32 m-\- 

 -\- 2 pi — 1 costanti, e quindi D = E-f-a, al più da 3n-\-p — 3 — t 

 parametri, mentre prima abbiamo trovato che la dimensione di W è almeno 

 Sn-\-p — 3. Si conclude che la generica E è irriducibile. D'altra parte 

 la varietà W di tutte le curve spezzate in una curva irriducibile d'ordine 

 n — 1 e genere p — 1 ed in una retta, è irriducibile e dipende precisamente 

 da 3n-\-p — 3 costanti: dunque W coincide con W e resta così stabilito 

 il teorema enunciato. 



Più in generale si prova in modo analogo, col processo d' induzione, 

 che la condizione necessaria e sufficiente affinchè una curva spezzata G 

 d'ordine n, appartenga alla varietà delle curve irriducibili d'ordine n 

 e genere p , è che si possano scegliere alcuni nodi di C , in tal numero 

 ed in tal posizione,, che considerandoli come virtualmente inesistenti, si 

 ottenga da C una curva connessa di genere virtuale p. 



Così p. es. alla varietà delle quartiche ellittiche irriducibili apparten- 

 gono tutte le curve spezzate in una cubica ellittica ed in una retta, mentre 



( 13 ) Cfr. Severi, Intorno alla costruzione dei sistemi completi non lineari, ecc. (Rend. 

 del Circolo mat. di Palermo, 20, 1905), n. 1, 2°). 



( 14 ) Questa considerazione equivale in sostanza ad un ben noto principio di Enriques, 

 che cioè una curva variabile con continuità, non può spezzarsi senza acquistare nuovi 

 punti doppi. Ved. Enriques, Sulla proprietà caratteristica delle superficie irregolari 

 (Rend. della R. Accad. delle Scienze di Bologna, dicembre 1904). 



