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queste curve non appartengono alla varietà delle quartiche razionali irridu- 

 cibili, perchè non possono considerarsi in alcun modo come curve connesse di 

 genere virtuale zero. 



Da quanto precede risulta che, se in una generica D = E -f- a di W, 

 si assegnano i d — n -f- 3 nodi di E ed n — 3 soltanto delle intersezioni 

 di E con a , considerando come inesistenti le altre due P , Q , si ottiene 

 una curva « totale » di V ed alla D sono pertanto infinitamente vicine 

 curve irriducibili di V, che hanno i loro d nodi infinitamente vicini agli 

 assegnati. 



Queste considerazioni sono importanti, perchè, come ho già detto, da 

 esse si trae una dimostrazione algebrico-geometrica del teorema di esi- 

 stenza di Riemann. Si prova, infatti, anzitutto geometricamente, premettendo 

 il computo del numero dei moduli di una curva di genere p ( 15 ), che il 

 gruppo di diramazione Gr in +tp-ì di una funzione algebrica ad n rami, m, , 

 u 2 . ... , u„ , di genere p, può assumersi ad arbitrio sulla retta «-pia (sfera 

 complessa) u ( 16 ). 



Ciò posto, per dimostrare che si possono scegliere arbitrariamente anche 

 le sostituzioni in G (purché beninteso mediante esse la costruenda funzione 

 risulti connessa), si distribuiscano i punti di G in <x = n-\-p — 1 coppie 

 A; , B, {ì — 1 , ... , <r) permutanti ciascuna gli stessi due rami. Avendo dimo- 

 strato la possibilità dell'arbitraria scelta di G, è chiaro che basterà stabilir 

 l'esistenza della funzione algebrica richiesta, quando i punti di due coppie, 

 per es. A x , Bj ; A 2 ,Bg, tendono rispettivamente alle medesime posizioni 

 limiti H t , H 2 , trascinandosi dietro le relative sostituzioni. Nè a cagione dei 

 risultati topologici di Liiroth-Clebsch, i quali sono indipendenti da ogni 

 questione di esistenza, è restrittivo il supporre, finché p ^> 0, che le coppie 

 A, , B, ed Ao , B 2 permutino entrambe gli stessi rami Ui,u z , e che questi 

 quattro punti di diramazione sieno anzi i soli operanti su u x . Astraendo 

 allora da questi punti, i rami u 2 , ... , u n restano connessi, e, ammesso dimo- 

 strato il teorema per le funzioni di genere p — 1 ad n — 1 rami, appena 

 sia n>.p-\-2, si potrà costruire, in un piano per u, una curva E d'ordine 

 n — 1, la quale si proietti da un centro 0, sulla retta (n — l)-plaw = 

 = {u 2 , u 3 , ... , u n ), diramata nel modo assegnato nei punti A 3 , B 3 , ... , A , B^ . 



Conducasi la retta OH,, e fra gli n — 1 punti ov'essa taglia E, scel- 

 gasi quello, P, che si proietta sul ramo u 2 ; e similmente su 0H 2 si scelga 

 quel punto Q di E , che corrisponde ad u 2 . 



Posto a = PQ , la curva composta E -f- a proiettasi da su u secondo 

 la retta ?z«pla (w, , u 2 , ... , u n ) — ove u x è la proiezione di a — ed è dira- 



Cfr. ad es. le mie citate Lezioni, pag. 196. Nell'edizione tedesca ho colmato 



una lacuna esistente in questo punto e che nelle Lezioni non avevo mancato di segna- 

 lare in modo esplicito. 



( ,e ) Cfr. Enriques, Sui moduli d'una classe ecc. (citata), n. 1. 



