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Ecco perchè codesta equazione è interessante : se V integrale esteso alla 

 parte (S') di (S) è eguale a zero, ne segue che, su (S,), si ha 



(15) «3-^ = 0, (• — 1,2, ...n), 



donde risulta che, sa (SO, /a f milione u è costante. 



4. Dal risultato testé ottenuto si possono dedurre varie importanti con- 

 seguenze, ma, per ora, considereremo soltanto il caso particolare che la (S') 

 si componga di duo parti (S ) e (S 2 ) tali, che su (S ) la funzione § sia 

 sempre eguale al numero -|- 1 , o sempre al numero — 1 , e che su (S 2 ) si 

 abbia /S = . 



Designando allora con s un numero reale in valore assoluto eguale alla 

 unità e di segno convenientemente scelto, si potrà scrivere la (14) nel modo 

 seguente : 



(16) A t(« f ^-^Y^ = 



v J(s,)érV ~òt ' ixi) 



2 J(s ) ( ér \ W ^ V ~M } ) 1 J(s a ) l'iter ) 



Da cotesta equazione si può dedurre il teorema seguente, che forma 

 l'oggetto principale di questa nota : 



Esiste al più una sola funzione continua u, che soddisfi nell'interno 

 del campo (D) alla (1) e che goda delle proprietà seguenti: 



1) Su (S ) la funzione u stessa e la sua derivata normale si ri- 

 ducono a delle funzioni date. 



2) Su (S 2 ) la funzione stessa u o la sua derivata normale si riduce 

 ad una funzione data. 



In fatti, basta dimostrare che la funzione u è eguale a zero in tutto 

 il campo (D) nel caso particolare in cui le funzioni date, considerate nel 

 teorema, sono nulle. Ma in tal caso il secondo membro della (16) si riduce 

 a zero. Quindi, su (S,) si verificileranno le (15). Ciò posto, sia (£, , f 2 , ...£„,t) 

 un punto qualsiasi dell'interno del campo (D) e (D r ) la parte del campo (D) 

 separata mediante il piano 



(17) t = x 



dalla parte (S ) del contorno del campo (D). 



Il teorema espresso dalla (16) è applicabile al campo (D'). Quindi, 

 tenendo conto delle (15), si ricava 



