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trice alla curva limite, insieme al fascio di raggi individuato dalle due tan- 

 genti in P, contato doppiamente. 



Mentre, allorché C acquista il punto doppio improprio P, la varietà 

 delle corde della curva variabile ha per limite una congruenza spezzata 

 nella varietà delle corde della curva limite ed in una stella di raggi, di 

 centro P, situata in un S 3 , la cui posizione dipende dalla legge colla quale 

 la curva variabile si avvicina alla curva limite. La sviluppabile osculatrice 

 ha invece per limite la sola sviluppabile osculatrice della curva limite. 



Quando la curva G p variabile in V, si spezza in 2 parti G' Pi , G' v \ , 

 aventi ó punti comuni, questi punti saranno propri rispetto a V ogni volta 

 sia p = p x +jt?2 + à — 1. Che se p <Cpi +J>2 + — 1, qualcuna delle 

 intersezioni di C , C", è un punto doppio improprio. 



La condizione che s'impone alle curve di V, volendo che acquistino 

 un nuovo punto doppio proprio in un punto non dato di S r , è di dimensione 1; 

 mentre l' imposizione di un punto doppio improprio, in un punto non dato, 

 è una condizione (r — 2)-pla, sempre che, beninteso, le condizioni sud- 

 dette sieno compatihili colla definizione della famiglia V. 



6. Il teorema fondamentale per le famiglie non speciali. — 



Sia, nello S r , una famiglia V non speciale di curve Gp (n .> p -f- r). Dal 



fatto che alla famiglia V delle curve piane irriducibili d'ordine n, con 



, (n— l)(n — 2) ... .. ., ."■ 



h = - — p nodi, le quali possono considerarsi tutte come 



Li 



proiezioni delle Gp, appartiene (n. 4) ogni curva spezzata in una curva 

 irriducibile d'ordine n — le genere p — 1 ed in una retta, si deduce age- 

 volmente che V contiene curve composte mediante una GpZ\ irriducibile 

 ed una sua corda. Ma non è perciò detto nè che V contenga ogni curva 

 così composta, nè quindi che le rette che entrano come componenti nelle 

 suddette C£ spezzate, sieno proprio corde o non piuttosto «'-secanti (z'->3) 

 delle relative G p z\. Nulla di assurdo ci sarebbe in ciò, perchè in tal caso 

 fra questi i punti d'appoggio, i — 2 dovrebbero esser punti doppi impropri 

 rispetto alle curve di V. 



Per provare che effettivamente V contiene ogni curva spezzata in una 

 GpZÌ ed in una corda di questa, procediamo così : L' imposizione di 2 punti 

 doppi propri alle curve di V, equivale a 2 condizioni (al più), sicché si 

 avranno in V cc k curve siffatte, ove 



k > l (X = n{r -\- 1) — {r — 3) (p — 1) — 2). 



La varietà 2 di queste curve, può essere riducibile, e può anche darsi che 

 qualcuna delle sue parti sia di dimensione l, e qualche altra di dimen- 

 sione l -j- 1. Comunque è certo che una, D, delle curve di V composte con 

 una CpZl e con una corda a di questa (la quale sia eventualmente «-secante), 

 in quanto è appunto una Gp con 2 punti doppi propri (e forse i — 2 im- 



