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ma possiamo subito provare che tuttavia in V vi è sempre una famiglia 

 completa di n-lateri, che ha la dimensione regolare nr — (r — 2) (p — 1). 



La cosa si dimostra per induzione, a partire da un (n — p)-\àtevo di 

 genere effettivo zero, costituito da n — p — 1 rette incidenti ad una medesima 

 ed osservando che l'aggiunta di una corda generica ad un (n — p -f- z')-latero 

 (i== , 1 , ... ,p — 1), aumenta l'ordine ed il genere effettivo di un'unità 

 ed il numero dei parametri di 2 unità. 



7. Come dna famiglia speciale si possa considerare parzialmente 

 contendta in dna non speciale. — Abbiasi in S r una famiglia speciale 

 {n <ip -\- r) di Cp irriducibili. Dal n. 4 risulta che la generica proiezione 

 piana C di Cp, insieme a ó rette del piano, ove n -j- ó _> p -f- r, qualora 

 si consideri come inesistente, per ogni retta aggiunta, uno dei punti ov'essa 

 incontra C, appartiene alla famiglia delle curve piane irriducibili d'ordine 

 k + J e genere p . E poiché ognuna di queste curve è proiezione di qualche 

 Cp 1 "*" 3 di S r , se ne trae agevolmente che la curva speciale Cp di S r insieme 

 a ó sue rette secanti, ove d>.p-\-r — n, può considerarsi con un ele- 

 mento della famiglia non speciale delle Cp"*" 3 irriducibili di S r . 



Alla stessa conclusione si perviene nel modo seguente, dal quale risulta 

 di più che le ó secanti, da aggiungersi a Cp 1 , non secano altrove la curva. 

 Si consideri un S, sghembo con S r , e pongasi un'omografìa fra S r ,SJ.. La 

 curva Cp viene mutata in una Cp 1 di S£ , e le congiungenti delle coppie di 

 punti omologhi di C , C , generano una rigata P , di genere p e ordine 2n , 

 rispetto alle cui generatrici le C,C sono unisecanti. Si prova, senza difficoltà, 

 che su F le C , C appartengono ad un medesimo fascio | C j , di grado 0. 

 Se pertanto s'aggiunge a |C| una serie lineare <?? (q 0) di generatrici 

 di F, il sistema lineare somma, di curve unisecanti, d'ordine n -f- ó e ge- 

 nere p, sarà irriducibile. Proiettando in S r , e tenendo conto dell'osservazione 

 con cui si chiude il n. 1, si conclude col teorema enunciato. 



Un'analisi ulteriore prov.-n'IiDe anzi che le ó rette secanti possono sce- 

 gliersi ad arbitrio. 



8. Il teorema fondamene ale per le Cp di dna famiglia qda- 



r 



ldnqde. — Sia in S r una famiglia V di C p . Se n ^TTT\ P r , ^ e 



curve di questa famiglia sono a moduli particolari (n. 3). Per valutare la 

 dimensione x di V, si può ripetere il ragionamento svolto da Noether per 

 le curve gobbe ( n ), e si trova così per oc il limite inferiore (3) (n. 3). 



Dunque: Una famiglia qualunque di Cp, nello S r , ha dimensione 

 non minore di n(r -f- 1) — (r — 3) (p — 1). 



(") Noether, loc. cit., pag. 19. Trattandosi'qui di trovare un limite inferiore per x, 

 non occorre alcuna considerazione del tipo di quelle esposte al n. 3, ove si voleva per- 

 venire ad un'uguaglianza (valida per le famiglie di curve a moduli generali). 



