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L'eccesso e di questa dimensione, sul limite inferiore (3), lo chiame- 



r 



remo l'irregolarità di V. Per n _> - , - p -f- r la famiglia è di certo re- 

 golare. 



Sia ora ó un intero per cui sia soddisfatto il teorema del num. prec; 

 e sia inoltre W la famiglia non speciale delle C" +s di S r . Con un ragio- 

 namento analogo a quello esposto nel n. 6, si prova che le curve composte 

 mediante una C£ di V, alla quale vengono aggiunte d rette secanti gene- 

 riche, costituiscono una parte della varietà formata dalle curve di W dotate 

 di ó punti doppi propri. Si perviene così alla relazione 



x + rò = (n + ó) (r -f 1) — (r — 3) (p — 1) — ò + e (e^Q), 



donde si trae di nuovo x = n(r -f- 1) — (r — 3) (p — 1) -j- e . 



Imponiamo ora alle curve di V di acquistare n -f- p — 1 punti doppi 

 propri, cioè di spezzarsi in n rette. Si può subito osservare che queste con- 

 dizioni son compatitali colla definizione dì V. Infatti il cono r che pro- 

 ietta una generica C£ da un punto 0, fuori di S r . contiene un sistema li- 

 neare oo i +1 di sezioni iperpiane, fra cui e' è la C£ data ed i gruppi di n 

 generatrici staccati su r dagl' iperpiani (di S r +i) uscenti dal vertice 0. 

 Proiettando tutto sullo S r primitivo, da un generico punto P di S r +, , si 

 ha in S,. un sistema irriducibile oo r+1 , di curve C£, cui appartengono la 

 curva data ed co r ra-lateri. Poiché questo sistema è contenuto in V (n. 1), 

 si conclude che V contiene effettivamente curve degenerate in gruppi di n 

 rette distinte. 



Gli n-\-p — 1 punti doppi propri imposti, equivalgono ad n-\-p — 1 — s 

 (£->0) condizioni, cosicché esistono in V infiniti w-lateri dipendenti da 

 nr — (r — 2) (p — 1) -f- e -j- s parametri. Ciascuno di questi punti w-lateri, 

 insieme a 6 sue rette secanti, fornisce un (n -f- <J)-latero di W. Si ottiene 

 in tal modo in W una varietà di (n -j- J)-lateri, di dimensione (n -\-à)r — 

 — (r — 2) (p — l)-j-e-j-f, e si prova così che ad una famiglia non 

 speciale W, la quale contenga parzialmente una famiglia irregolare di 

 curve, appartengono due o più varietà irriducibili di n-lateri, di cui 

 alcune di dimensione regolare e le altre di dimensione irregolare. 



Ci resterebbe da mostrare che gli /blateri esistenti in V son privi di 

 punti doppi impropri, cioè che il loro genere effettivo coincide col genere 

 virtuale^. Rimandiamo al n. 9 per talune induzioni in proposito, riservan- 

 doci di completare questo punto nel lavoro più esteso. Enunceremo conclu- 

 dendo che: 



In ogni famiglia V di curve C£ dello S r , esistono almeno co m - <r_2,< ^- 1) 

 n-lateri di genere p. L'irregolarità di V non supera la massima irrego- 

 larità d'una famiglia completa di n-lateri di genere p in S r . 



