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Un'altra disuguaglianza cui soddisfa e, è la seguente, che si ottiene 

 con semplici considerazioni di geometria sopra una curva: 



L'irregolarità di V non supera (r — 2) i , i essendo l'indice di spe- 

 cialità delia generica Cp . 



9. Sull' inversione del teorema fondamentale. — Dato in S r un 

 rc-latero (connesso) li = a x a ì ... a n , di genere effettivo jo_>0, è possibile 

 costruire una famiglia di curve irriducibili C", di S r , cui appartenga L? 

 Per rispondere a questa domanda, osserviamo anzitutto che tutti gli n-lateri 

 aventi lo stesso schema di connessione, formano una varietà irriducibile. 



Dicendo che due /blateri hanno lo stesso schema di connessione o che 

 sono isomorfi, intendiamo che si possa porre fra i loro lati una corrispon- 

 denza biunivoca tale, che a due lati incidenti dell'uno rispondano due lati 

 incidenti dell'altro, e viceversa. 



Per dimostrare la proposizione enunciata, si può profittare ad esempio 

 del fatto che, dato un n-latero L di genere p >. 0, è sempre possibile di 

 scegliere n — 1 vertici, i quali bastino a stabilire la connessione fra i lati 

 di L, per guisa che, dopo ciò, L possa considerarsi come proiezione di un 

 n-latero L di genere effettivo zero, appartenente ad S„ , ed avente p corde 

 appoggiate al centro di proiezione (n. 4). L'affermazione enunciata, si ricon- 

 duce allora all'altra, pressoché evidente, che in S„ gli n-lateri isomorfi fra 

 loro, costituiscono una sola varietà. 



Premesso questo, ricordiamoci (n. 4) che, dato in S r lo n-latero L, 

 esiste sempre qualche curva razionale C, ad esso infinitamente vicina, la 

 quale possiede q <. p nodi infinitamente prossimi ad altrettanti vertici di L . 

 Ne deriva che esiste una sottofamiglia V di curve razionali con q punti 

 doppi, alla quale appartengono tutti gli n-lateri isomorfi con L. 



Proiettiamo genericamente la C sopra un piano. Poiché la proiezione C 

 appartiene alla famiglia delle curve piane irriducibili, d'ordine n e genere q, 

 se ne deduce, se n>q-{-r, che C appartiene alla famiglia W delle 

 di S r . La sottofamiglia V è pertanto contenuta in W, ed a W apparten- 

 gono perciò tutti gli n-lateri isomorfi con L . Rispetto a W, n -\- q — 1 

 nodi di L son propri, e gli altri p — q impropri. 



Se poi n <C q -f- r si gi" n g e a( i ima conclusione analoga, usufruendo 

 del teorema di Eiemann-Roch, per le curve non aggiunte ( 18 ). Dunque: 



Dato in S r un n-latero (connesso) di genere effettivo p >. 0, esso de- 

 finisce semp/'e qualche famiglia di curve irriducibili d'ordine n e genere 

 q<.p, prive di punii multipli. Rispetto alle curve di questa famiglia, 

 p — q nodi del dato n-latero sono da considerarsi come impropri. Due 

 n-lateri isomorfi, definiscono la stessa famiglia. 



(**) Noether, Ueber die Schnittpunktsy steme einer algebraischen Curve mit nicht- 

 adjungirten Curven (Math. Annalen, 15. 1879), pag. 507. 



