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È appena necessario di avvertire che deve esistere qualche condizione 

 complementare, affinchè un ra-latero di genera effettivo p, definisca, in S r , 

 una famiglia di C£ irriducibili, senza punti multipli, e di genere uguale a p . 

 È ben noto infatti che il genere delle Cp irriducibili, senza punti multipli, 

 di Sr, non può sorpassare un certo massimo, assegnato, per r qualunque, 

 da Castelnuovo; e che d'altra parte, come ha provato Halpben (per r = 3), 

 anche al disotto di questo massimo, vi sono lacune nei valori possibili di p. 



Ritengo per certo che la risposta a tale importante questione debba 

 ottenersi mediante il teorema di Riemann-Roch per le curve spezzate ( 19 ); 

 ma su ciò, come ho detto, mi propongo di ritornare. Il risultato definitivo 

 dovrebbe esser questo: 



« La condizione necessaria e sufficiente perchè un blatero L, di genere 

 « effettivo p^lO, definisca in S r una famiglia di C]] irriducibili (senza punti 

 «multipli), quando n<Cp-\-r, è che per gli h punti doppi della generica 

 « proiezione piana li di L, provenienti dai punti doppi apparenti di L, pas- 

 « sino almeno aaP+r-n-i curve d'ordine n — 4, le quali non contengano come 

 « parte alcuna retta di L'. Per n >-p -f- r, non si richiede alcuna condizione ». 



Una volta provato questo, si potrà completare il teorema del n. prec, 

 perchè ne deriverà la possibilità di costruire in S r un /blatero di genere 

 effettivo p, isomorfo con un w-latero M di genere virtuale p, contenuto in 

 una data famiglia V di C£ , ove beninteso l' isomorfismo fra L , M , si ponga 

 astraendo dagli eventuali punti doppi impropri di M. Si concluderà cosi che 

 a V appartiene anche lo w-latero L . 



Non va inoltre taciuto che due n-lateri non isomorfi posson anche 

 definire la stessa famiglia. Questa circostanza si verifica pure nel caso più 

 semplice delle curve razionali. Così, p. es., nello spazio ordinario, i quadri- 

 lateri a x a - 2 a } a 4 collo schema di connessione (12) (23) (34) — in cui cioè a 2 

 appoggiasi ad a, , a 3 ad a t , a 4 ad a 3 — ed i quadrilateri collo schema 

 (12) (13) (14) , definiscon entrambi la famiglia delle quartiche di 2 a specie. 

 Ciascuno dei due schemi suddetti dà luogo ad una famiglia regolare di qua- 

 drilateri, cbe contiene 13 costanti. 



Quando i due n-lateri dipendono dallo stesso numero di parametri, 

 un criterio sufficiente, per decidere s'essi definiscono o no famiglie distinte, 

 è dato dalla considerazione delle superficie (o forme) del minimo ordine a 

 cui essi appartengono. 



Per es. nel caso n = 9 ,p — 10 , le due famiglie distinte di curve gobbe, 

 incontrate per la prima volta da Halphen, son definite da due 9-lateri dei 

 tipi seguenti : 



1) Sei lati son generatrici di una schiera rigata e gli altri 3 gene- 

 ratrici della schiera rigata incidente. 



( I9 ) Noether, Ueber die reductiblen algebraischen Curven (Acta math., 8, 1886), 

 pag. 161. 



