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piere in due modi diversi, sostanzialmente equivalenti ('). Il primo modo 

 consiste nell assumere come incognite i coefficienti H! , H 2 , H 3 nella (1), ed 

 allora queste tre funzioni debbono unicamente soddisfare al sistema lineare : 



(3) ^ = feH s (i ={= k). 



Nel secondo modo si prendono invece come incognite le tre distanze 

 (algebriche), che diremo Wi , W 2 , W 3 , di un punto fisso dello spazio (p. es. 

 dell'origine) dalle tre facce del triedro principale. In tal caso le W,- debbono 

 soddisfare al sistema, che diremo Xagijiunto di (3) : 



(3*) -^- l = ^W ft [i =j= k). 



òli], 



Si osservi che se (H^ , H 2 , H 3 ) , (Wi , W 2 , W 3 ) sono due terne qua- 

 lunque di soluzioni, la prima del sistema (3), l'altra dell'aggiunto (3*), 

 si ha: 



L'espressione Wi du L -f- H 2 W 2 du 2 -j- H 3 W 3 rfw 3 è un differenziale 

 esatto. 



Le ricerche contenute nella presente Nota muovono dal considerare che, 

 in molte questioni concernenti i sistemi tripli ortogonali, si riscontra come 

 una reciprocità fra le proprietà che dipendono dalle H, e quelle che si rife- 

 riscono alle W,-. 



Ora si sa che in quei sistemi tripli ortogonali (w, , u z , u 3 ) in cui la 

 famiglia u 3 = cost consta di superficie a curvatura costante, basta scegliere 

 convenientemente i parametri u x . u 2 perchè i coefficienti H; , H 2 risultino 

 legati da una relazione lineare 



H? + cHI = cost , 



dove c è una costante che si può porre, del resto, senza alterare la gene- 

 ralità, = rt 1 . Dopo ciò, risulta naturale la domanda se esistono sistemi 

 tripli ortogonali, corrispondenti in certo modo ai superiori secondo l'accennata 

 legge di reciprocità, e pei quali si verifichi una relazione della forma 



[a) W? -f cWÌ = cost , 



dove ora per altro il valore della costante c risulterà essenziale, e soltanto 

 saranno da escludersi i casi impossibili e = , c = 1 ( 2 ). 



(') Ved. Darboux, Legom sur ìes systèmes orthogonaux (2 a ediz., 1910. Livre III, 

 chap. V), od anche le mie Lezioni di geometria differenziale, voi. II, § 413. 



( 3 ; Se fosse c — O, le superficie Ui — cost dovrebbero ridursi ad un'unica sfera. Se 

 c = 1 , le curve (w 3 ) avrebbero tutte le tangenti a distanza costante dall'origine e sareb- 

 bero tutte tracciate sopra ima sfera col centro in questo punto, casi manifestamente 

 assurdi. 



