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Siccome Wj , W 2 sono le distanze dall'origine dei piani principali delle 

 superficie w 3 = cost, la (a) rappresenta un'equazione del secondo ordine a 

 cui tutte le u-i = cost debbono soddisfare, sicché il problema proposto è il 

 seguente : 



Trovare tutte le famiglie di Lamé composte di superficie integrali 

 della equazione (a) a derivate parziali del secondo ordine. 



Si vedrà che esistono in effetto infiniti di tali sistemi tripli ortogonali 

 e dipendono da tre funzioni arbitrarie essenziali. Questi sistemi tripli go- 

 dono di singolari proprietà geometriche, che sono del resto comuni anche a 

 tutti i loro sistemi paralleli, e per le quali i sistemi stessi vengono a col- 

 legarsi colle congruenze pseudosferiche. 



Avvertiamo che nelle ricerche seguenti sarà trascurato, come ovvio, il 

 caso che nel sistema triplo figuri una serie di sviluppabili, e per ciò sup- 

 porremo che nessuna delle rotazioni si annulli. 



2. Per trattare analiticamente il nostro problema dobbiamo aggregare 

 al sistema delle equazioni (2) e (3*) per le nove funzioni incognite fiii(,Wi 

 l'equazione in termini finiti (a) fra Wj , W 2 . Scrivendo in primo luogo per 

 disteso le (2), abbiamo il sistema : 



Vi2 o a Vm a * Vai A rf 



= P)3P32 i "T" PZl P\3 i ~ — P32 P21 



~~ÒU 3 ~ÒUi ~ÒU 



(4) 



V*j o q Vg* o o V'3 j a 



~ P23 / J 31 • ~ P31 Pl2 ) P\ì Pì3 



l>u 3 l)u 2 



Vi 2 | Vii ,o Q Va 3 I V32 n 



Ì T = P31 P32 i 1 -\„ Pl2/ J 13 



~ÒU\ ~ÒU 2 ~ÒU 2 ~ÒU 3 



Vai j_ Vr?_ * ff 



ìu 3 + luti - — P»P"> 

 e similmente per la (3*) 



1 dWl dW 2 



Ora se l'equazione in termini finiti (a) si deriva rapporto ad Ui,u 2 ,u 3 

 mediante le (5), e dai risultati si sopprimono i rispettivi fattori non nulli 

 W\ , W 2 , W 3 , si trovano le due equazioni differenziali 



(6) 



= — cp 2l W 2 



~òu 

 DW 2 



~òu 2 c 



