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Vediamo dunque intanto che : Se in un sistema triplo ortogonale 

 (uì , u-2 , ii z ) le superficie u 3 = cost sono integrali della equazione del se- 

 condo ordine (a) 



W? + cWo = cost 



le rotazioni fim debbono soddisfare al sistema (I). 



Inversamente si vedrà fra breve che ad ogni sistema di rotazioni 

 che soddisfino le (I), corrisponde un sistema triplo ortogonale della specie 

 richiesta, univocamente determinato a meno di un'omotetia. 



Per semplificare le ricerche conviene osservare la seguente singolare pro- 

 prietà di costruzione nel sistema (I) : // sistema differenziale (I) resta in- 

 variato per una permutazione qualunque degli indici 1,2,3, purché si 

 eseguisca contemporaneamente sulla costante c una corrispondente sosti- 

 tuzione lineare del gruppo diedrale G 6 del rapporto anarmonico. 



Per accertarsene basta osservare: 1°) Il sistema (I) non cangia scam- 

 biando l' indice 1 con 2 e mutando c in - ; 2°) esso non muta nemmeno 



c 



per la permutazione circolare (1,2,3), cangiando insieme e in - j . 



Dopo ciò la proprietà enunciata resta evidente, e ne segue che la corrispon- 

 denza (d'isomorfismo oloedrico) fra le 6 permutazioni degli indici e le 6 sosti- 

 tuzioni lineari del gruppo diedrale su c è data da 



1<W , (123) , (132) ~ e —^ 



(12) ~ ì , (23)~-^-y , (13)- 1 — c. 



3. Ed ora la prima questione analitica che si presenta è di esaminare 

 la compatibilità delle 12 equazioni simultanee (I) per le 6 incognite 

 e valutare il grado di arbitrarietà dell'integrale generale. 



Il sistema (I) assegna, per ciascuna delle due delle derivate prime 

 come prodotto di altre due e ciò in guisa che se si costruiscono le 6 cor- 

 rispondenti condizioni d' integrabilità, delle quali la prima è 



DU 2 \ 1>U 3 / 7>U Z \ ìu 2 J 7>m 2 1 — C 1)U 3 



si trovano tutte soddisfatte, in virtù delle (I) stesse. Il sistema (I) appar- 

 tiene dunque ad una delle più semplici classi di sistemi lineari canonici 

 completamente integrabili del Bourlet ('), ed ammette quindi infinite solu- 



(') Bourlet, Sur les équations au.c dérivées partielles simultanées (Annales de 

 l'École Normale Supérieure, tom. Vili, 3 ème serie suppl. (1891)]. Per il caso semplice 

 attuale ved. anche Darboux (loc. cit.). Livre III, chap. I. 



