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zio in dipendenti da sei funzioni arbitrarie. Precisamente se consideriamo un 

 sistema iniziale di valori per u x . u 2 , u 3 , sia per semplicità (0,0, 0), le (I) 

 posseggono imo ed un solo sistema di soluzioni tali che 



§11 , P31 



si riducano a due funzioni arbitrariamente date della variabile u x , quando 

 vi si fa u 2 = u 3 = , e similmente 



/?i2,/?32 a funzioni date di u% , per U\ = u 3 — , 

 j#i3 , ^23 a funzioni date di u :ì , per u x = u 2 = . 



Ma osserviamo subito che tre di queste funzioni arbitrarie sono soltanto 

 apparenti, e dipendono dall'arbitrarietà ancora lasciata ai parametri u x , u t , u 3 . 

 E così, p. es., senza alterare la generalità, possiamo prescrivere che risulti 



, , 0) = 1 , /? 3 *(0 , w 8 , 0) = 1 

 M° , , w 3 ) = 1 • 



Concludiamo adunque che in realtà : 



L'integrale generale del sistema (I) nelle §; k dipende da tre funzioni 

 arbitrarie essenziali. 



Questi risultati conducono naturalmente a cercare di esprimere le (3 in- 

 cognite fa per tre sole ausiliarie, e l'opportuna introduzione di queste tre 

 incognite ausiliarie viene suggerita dal riconoscere che il sistema (I), ammette 

 tre integrali quadratici facilmente distinguibili. 



Se costruiamo in effetto le tre espressioni 



fi, = (l — c) $i + /S§, 

 g t = (l — c) — 



riconosciamo che a causa delle (I) stesse si ha identicamente 



1)U 2 1U 3 ' ~ÒU X ~ÒU 3 ' ~ÒU X ~ÒU 2 



onde segue che Sì x è funzione della sola U\ ,& 2 della sola u 2 , ed i2 3 di u 3 . 

 Inoltre se si considera che, cangiando i parametri u x , u 2 , ih - le rotazioni 

 §n , §ì\ risultano moltiplicate per un fattore arbitrario funzione di u x , e 

 similmente §\%^§ 3 % per una funzione di u 2 , e §i 3 ,@ 23 per una funzione di 

 Ut , si vede che è lecito alterare i3 x , i2 2 , £ ;H per rispettivi fattori positivi 

 arbitrarli, ordinatamente funzioni di u x ,Un,u 3 . 



(') Basta del resto verificare queste ultime ed applicare poi l'osservazione alla fine 

 del ri. 2. 



