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Introducendo questi valori delle nelle (I), ove è da farsi inoltre 

 c= — tg 2 ff , il sistema si riduce nelle tre funzioni incognite 0,<p.y al 

 seguente : 



DO ~ò0 , , 



* =cos(rsen</ , — - — seuhxfj 



(II) { = sen a sen 6 , * == — cosh </> 



= sen g costi , = cos cr cos a> * 



Risulta già da quanto si è detto al n. 2, e si può constatare anche 

 subito direttamente, che le condizioni d' integrabilità per questo sistema (II) 

 sono identicamente soddisfatte, onde l'integrale generale (6,<p,xp) dipende 

 da tre funzioni arbitrarie (essenziali). 



2° caso Sì 3 = 0. In questo secondo caso, avendosi 



013 . 



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sen a cos <r 



potremo limitarci a prendere il segno superiore, bastando cangiare nel caso 

 contrario e in — a. Ed allora, mantenendo per . ; 12 , 32 le posi- 

 zioni fatte in (11), poniamo invece 



013 023 J, 



sen a cos cr 



dove è da notarsi che, cangiando il parametro u 3 , si può aumentare l'ausi- 

 liaria ip di una funzione arbitraria di u 3 . I valori delle rotazioni saranno 

 dunque ora: 



j = cosff cos 6 , /? 31 = sen 6 



(11*) 0i 2 — sen cr cos </ , /J 32 = sen y 



( 0i :( == sen <y é?v , 83 = cos cr ^ , 



ed al sistema differenziale (II) si sostituirà l'altro : 



- = cos <r sen q> , 



{ ^ = sen(Tsentì * ^ = - e * 



= sen <r cos 6 , = cos a cos cp * 



Anche qui le condizioni d' integrabilità sono soddisfatte, e l' integrale 

 generale (d,yi,ip) dipende da tre funzioni arbitrarie. 



Rendiconti. 1915, Voi. XXIV, 1° Sem. 131 



