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Inversamente, ad ogni terna (0 , y> , tp) che soddisfi alle equazioni (II), 

 ovvero alle (II*), corrisponderà (n. 1) un' intera classe di sistemi tripli orto- 

 gonali paralleli, le cui rotazioni saranno date dalle (11) nel primo caso, 

 dalle (11*) nel secondo. 



5. Ma ora dobbiamo ritornare al nostro problema primitivo (n. 1) e 

 ricercare se fra i sistemi tripli ortogonali anzidetti ne esiste qualcuno in cui 

 le superficie w 3 = cost soddisfino la equazione (a), la quale, nella nostra 

 ipotesi di 



<?== — tg»<r, 



assume la forma 



(12) cos 2 <r W? — senWi = cost . 



Supponiamo dapprima di trovarci nel primo caso del n. 4 in cui val- 

 gono le (11) e le (II), ed osserviamo che la equazione (7) n. 2: 



ft 3 W I = tg l cr/? M W 2 



diventa qui per le (11) 



cos a cosh ip .Wi = sen a senh xp . W 2 . 



Possiamo dunque porre : 



Wj = A sen a senh xp , W 2 = X cos e cosh xp , 



dove X indica un fattore di proporzionalità, il quale a causa della (12) deve 

 necessariamente essere una costante. Sostituendo al sistema triplo un sistema 

 omotetico, si può fare senz'altro X = 1 



W, = sen <y senh xp , W 2 = cos g cosh ti> . 



Dopo ciò le due forinole dell'ultima colonna in (5) dànno concordemente 



W 3 = -^-; ed inversamente si vede che, ponendo. 



~Ì)U 3 



(13) W, = sene senh xp , W 2 = cose cosh xp , W 3 = , 



~Ì)U 3 



tutte le condizioni (5) risultano verificate dando alle rotazioni i valori (11). 

 Si conclude quindi : 



Ad ogni terna (0,(p,xp) integrale del sistema (II) corrisponde uno 

 ed un solo sistema triplo ortogonale colle rotazioni /$,-» date dalle (11)» 

 le cui superficie u 3 = cost soddisfano alla condizione 



_W|__ JVÌ_ _ . 

 cos 8 (T sen 2 ff 



In effetto un tale sistema è univocamente definito dalle (13). 



