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In simil modo si tratta l'altro caso che le siano date dalle (11*), 

 soddisfacendo 6 , y> , xp al sistema (II*). La (7) n. 2 diventa ora sempli- 

 cemente 



cose W, = sen ff W 2 , 

 e noi poniamo in corrispondenza 



Wi — Xsenae* , W 2 = X cos a 

 con X fattore di proporzionalità. Ma dalle due equazioni (5) 



1 — 1 = /? 21 W, = cos a cosd W l 



— /?i2W 2 = sen <r cos y W 2 



lìtio 



risulta ora 



[X e*t) — X sen <r cos 6 , — (il e$) = X cos e cos g> , 



~òU\ lìtio. 



indi per le (II*) 



7>X 1>X_ _ 



~^ 2 



Il fattore X dipende dunque solo da u z , ed anzi, aumentando tp di una 

 funzione di u 3 (n. 4), possiamo rendere senz'altro X=\. Così troviamo 



(13*) W,=senff«+ , W 2 = cosce'^ , W 3 = ^; 



e viceversa con questi valori di Wi,W 2 ,W 3 sono soddisfatte le (5), e ne 

 resta definito un sistema triplo ortogonale della specie voluta. 

 Si osservi che: 



In questi sistemi tripli ortogonali (13*) le superficie w 3 = cost hanno 



W, 



costante (=tgc) il rapporto — delle distarne dall'origine dai piani 



principali', inoltre le loro trajettorie ortogonali (u 3 ) sono curve piane. 



Quest'ultima asserzione risulta provata da ciò che il rapporto delle due 

 rotazioni /?, 3 , /? 23 è costante. 



6. Così abbiamo risoluto il problema proposto solo nel caso che nella 

 equazione (a) il valore della costante c sia negativo. Per altro le conside- 

 razioni alla fine del n. 2 ci dimostrano che, per risolverlo negli altri casi, 

 basterà riferirsi sempre alle forinole del n. 4 con uno scambio opportuno di 

 indici, effettuando in pari tempo sulla costante c la corrispondente sostitu- 

 zione lineare. Ora se nella relazione (a) 



Wf-f <?W| = cost 



