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stra facilmente che l' inversione domandata è sempre possibile; anzi esistono 



00 1 di tali terne (Wi , W 2 ,W 3 ) che si determinano con una quadratura. 



8. Veniamo da ultimo a descrivere la proprietà geometrica comune a tutti 



1 sistemi tripli (mi,«8,m 3 ), colle rotazioni soddisfacenti al sistema (I), 

 a cui sopra è accennato. Essa risulta dalla proposizione seguente: 



Le superficie di ciascuna delle tre serie nel sistema triplo sono divise 

 in parallelo grammi infinitesimi d'area costante da un doppio sistema di 

 trajettorie isogonali delle loro linee di curvatura sotto un conveniente 

 angolo. 



Avvertiamo però subito che, mentre per una delle tre famiglie le dette 

 trajettorie isogonali sono reali, per le altre due famiglie invece sono imma- 

 ginarie, l'angolo costante d'inclinazione essendo per esse un immaginario 

 (puro). 



Le superficie dotate della proprietà sopra enunciata, di avere cioè per 

 linee di curvatura le bisettrici di un doppio sistema (u ,v) che dà al ds 2 

 la forma caratteristica 



vennero considerate la prima volta in una mia Memoria del 1890 ('). La 

 proprietà è comune a tutte le superficie colla stessa rappresentazione sferica, 

 e vale quindi in particolare per la sfera rappresentativa stessa. Qualunque 

 superficie dotata della proprietà in discorso può inserii si in sistemi tripli 

 ortogonali della nostra classe. 



Qui verifichiamo ad esempio che in ogni sistema triplo ortogonale cor- 

 rispondente alle rotazioni date dalle (11) n. 4, quando 0,(p,ip soddisfano 

 al sistema (li), sulle superficie u 3 — cost, le trajettorie isogonali sotto l'an- 

 golo rt a delle linee di curvatura dividono la superficie in parallelogrammi 

 infinitesimi equivalenti. Basterà verificare che tale proprietà sussiste nel- 

 l' immagine sferica, il cui ds' 2 è dato da 



Le equazioni differenziali delle trajettorie isogonali, sotto l'angolo ztc, 

 delle linee di curvatura si scrivono 



ds 2 = E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 



con 



EG = 1 



P = cost , 



ds' 2 = §\i du\ -f- $12 dui = sen' 2 6 du 2 -J- seu 2 g> dui ■ 



sen 6 



du x — 



sen (p 



dui = 



cos e 



sen a 



sen 6 



dui -f- 



seu (p 



du 2 — . 



cos a 



sen g 



C) Sopra alcune nuove classi di superficie e di sistemi tripli ortogonali. (Annali 

 di matematica. Serie II, tom. XVIII). 



