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la derivata rispetto a X per X = 0. Otterremo evidentemente lo stesso risul- 

 tato. Basta dunque calcolare 



Ma poiché F è omogenea di grado r , si ha : 



y\[nx).(i+im = (i+wF\if(x)i\, 



( M o ;>.=o o 



Per le funzioni di linea si ha dunque il seguente teorema, corrispon- 

 dente al teorema di Eulero pe le funzioni omogenee di n variabili: 



ì 



Se nel differenziale di una funzione di linea omogenea, F|[/(#)]|, 



o 



si sostiluisce a àf(x) f{x), si ottiene la funzione stessa moltiplicata per 



il grado di omogeneità. 

 i 



Se F| [/(#)] | è una funzione senza punti eccezionali, si ha: 







ÓF= f V|[/'(Ì)£]|<V(£)^ - 



J a o 



Dunque: 



i 



Una funzione di linea F| [/(#)] | senza punti eccezionali, omogenea 







di grado r, soddisfa all'equazione alle derivate funzionali: 



^0 



Quest'ultimo risultato corrisponde al teorema di Eulero nella sua forma 

 ordinaria. Il teorema precedentemente enunciato è più generale, poiché vale 

 anche per le funzioni di linea con punti eccezionali della specie detta. 



3. Verifichiamo ora se valga per le funzioni di linea anche il reciproco 

 del teorema di Eulero. 



i 



Consideriamo una funzione di linea F| [/"(#)] | tale che sostituendo nel 



o 



ì 



suo differenziale a Sf{x) f(x) si ottenga r- F | [/"(#)] |; tale cioè che: 



o 



(A) j ~ F|CA») ■(! + *)] ! ì = rPlCA^)] I • 



