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Evidentemente si avrà pure 



(A') 



j^F|0 + =rF|^-/'(i)]l 



\ o M=0 



Per vedere come la funzione F •/'(#)] | dipenda da /.i , calcoliamo 



o 



la sua derivata rispetto a ju . 



Come facilmente si verifica, si ha: 



^- F | Q. . f(x)l = f ^ F | [(,« + X) ■ f(x)2 1 ! • 



Ossia 



i|Q.-AÌ)]l-{^i|[i.-/(i)-(n-^y 



I 



M=0 



Da quest'ultima uguaglianza e dalla (A') segue : 



Quindi : 



^-F|[^./'(i)]| = f F|[ M ./'(i)]l 



Fit>./(£):i-M'Fi:flì)]i . 







Condizione necessaria e sufficiente' perchè una funzione dì linea 



ì 



F | [/(#)] | omogenea digrado r è che sostituendo nei suo differenziale 

 o 



a óf'(x) f{x) si ottenga la funzione stessa moltiplicata per r. 



Per una funzione senza punti eccezionali, tale condizione è equivalente 

 all'altra di essere un integrale dell'equazione alle derivate funzionali : 



Vv'\U{*)Q\mtè = ry\if{x)-\\ ('). 



Ja o o 



4. Dalla definizione stessa di funzione di linea omogenea, segue imme- 

 diatamente che la più generale funzione di linea omogenea di grado r può 

 ottenersi moltiplicando la più generale funzione di linea omogenea di grado 

 zero per una particolare funzione di linea omogenea di grado r. 



La più generale funzione di linea omogenea di grado zero è data da: 



f{x) 



o 



m di 



(<P funzione arbitraria) ( 2 ). 



(') Per il caso r = 0, efr. Volterra, Sulle equazioni alle derivate funzionali, § 2, 

 Eend. della R. Accad. dei Lincei, 15 marzo 1914. 

 ( 9 ) Volterra, loc. cit., § 2. 



