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Possiamo dunque prendere come espressione generale di una funzione di linea 

 omogenea di grado r la seguente: 



(I) 



F|[A*)]|— • 







■ f f '• • • f V ri (?i) rih) . . . r<h) dSi ah . . . ds. 



(d> funzione arbitraria ; r y -f- r 2 -j- ■ ■ • -f- r s = r) . 



Da quanto si è detto nei paragrafi precedenti, segue che. se d> non ha 

 alcun punto eccezionale nell'intervallo 01, la (I) ci dà l' integrale generale 

 dall'equazione alle derivate funzionali : 



(II) 



V|[/'(Ì)£]|/(J0 # = rF|[/T(ì)]| 



Tutto quanto si è dimostrato per le funzioni di una sola linea si estende 

 immediatamente alle funzioni di più linee. 

 5. L'equazione alle derivate funzionali 



(III) I"|[SP(*)5]| *-rF|[sp(a?)]| 



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(F funzione incognita di linea, senza punti eccezionali; 6 funzione ordinaria, 

 nota) si può ricondurre alla (II) ponendo: 



(IV) 



>(V) 



La (I) del paragrafo precedente (nell'ipotesi che d> non abbia punti 

 eccezionali) ci dà dunque, tenendo conto della (IV), l' integrale generale 

 della (III). 



Consideriamo ora l'equazione: 



(V) 



f 1 i2(F'|[/(ì) £]!)/■(£) #-r-P|[/(i)]| 



.^O 



(Sì funzione ordinaria). 



ì 



Poniamo F'|[/(a?) f] =J»(f). Sostituiamo alle variabili /"(£) le variabili 



o 



i ì 

 jt>(f), e alla funzione F|[/"(cc)]| la funzione definita dalla rela- 



o o 



zione : 



(B) F|[/(i)]i= rw)A»#-*i[jK*)]i e)- 



( l ) Questa trasformazione corrisponde a quella di Legendre per le funzioni di n 

 variabili. 



