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Se F non ha punti eccezionali, il suo differenziale è dato da 



- 



e per la (B) si ha: 

 Dunque : 



V'\lp(x)Q\ = /(£). 



o 



Poniamo: 



rp(IS) — a(p{$)) = 6(pG)). 

 La (V) si riduce allora, mediante la detta trasformazione, all'equazione: 



f V \lp(x) f\\ 6(p{§)) d£ = rV\lp(x)-]\ . 



Jo o o 



Questa equazione è del tipo (III) : di essa sappiamo dunque costruire, ap- 

 plicando il teorema di Eulero, l' integrale generale. 



Costruito questo integrale, se si risolve rispetto a p(x) l'equazione 



i 



(di tipo integrale) /'(£) = W\\_p(x) f]| e si sostituisce nella (B) a p la sua 



o 



espressione in funzione di /, si ha l'integrale generale della (V). 



6. Si può anche ricondurre alla (II) (in cui sia posto r = 1) ogni 

 equazione del tipo : 



(vi) f V s]| 1 [>(«) £] [ ^ = * ; i [g>(ì)] l f lix* )] : 



o o oo 



(F funzione incognita senza punti eccezionali; & , *P funzioni note) quando 

 di essa si conosca un'infinità continua d'integrali, ossia un integrale con- 

 tenente un parametro che possa assumere tutti i valori compresi, per es., 



nell- intervallo 01 . 



i 



Se F |[sp(cc) r[\\ è il detto integrale, basta porre: 







(VII) f(v) = V*\l9(x)vl\> 







La più generale funzione omogenea di primo grado, e senza punti ecce- 

 zionali, dipendente da tutti i valori di f(rj) nell'intervallo 01 ci dà dunque, 

 tenendo conto della (VII), l'integrale generale della (VI), 



Questo risultato corrisponde all'altro, valido per le funzioni di n varia- 

 bili: noti n integrali particolari di un'equazione alle derivate parziali del 

 primo ordine, lineare ed omogenea rispetto alla funzione incognita e alle 

 sue derivate, l'integrale generale è dato da un'arbitraria funzione omogenea 

 di primo grado di quei n integrali. 



