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In due Note (la presente e un'altra che le farà tosto seguito) sorte da 

 un suggerimento del prof. Levi-Civita, mi propongo di far vedere come vi 

 sia corrispondenza biunivoca fra le coppie (reali e regolari) di funzioni asso- 

 ciate simmetriche (u , v) e le coppie (pure reali) di funzioni associate loga- 

 ritmiche (g> , xp), vincolate alla condizione xp = sulla retta, che è asse 

 di simmetria per (u , v). 



In altri termini ogni funzione di variabile complessa y>-\-iip, reale 

 sull'asse reale, dà luogo ad una coppia (u , v), e reciprocamente. 



L'espressione analitica di tale corrispondenza (funzionale lineare) è 

 fornita da integrali definiti semplici, e invertibili in modo semplice, mercè 

 il teorema di Abel. A ciò si perviene combinando opportunamente la for- 

 mula di Whittaker, che dà l'integrale generale dell'equazione di Laplace 

 con altre già rilevate dal Beltrami ( 2 ). Immediato corollario della corrispon- 

 denza funzionale, or ora specificata, è l'esistenza, per i potenziali simmetrici, 

 di un gruppo di trasformazioni che ha la stessa generalità del gruppo con- 

 forme. La sua natura funzionale ne rende però assai meno efficace l'im- 

 piego di quel che non avvenga nel caso logaritmico. Per la stessa ragione 

 i problemi al contorno, relativi ad una specie di potenziali, non si trasfor- 

 mano, almeno in generale, per effetto delle formule di corrispondenza, in 

 problemi analoglii relativi all'altra specie. Così l'obbiettivo, di portare, me- 

 diante trasformazioni, la teoria dei potenziali simmetrici allo stesso grado 

 di sviluppo consentito dai logaritmici, nou sarà completamente raggiunto, 

 ma qualche caso, come, ad es.. il problema del disco, di cui mi occuperò 

 in Note successive, offrirà una facile e vantaggiosa applicazione. 



1. — Richiamo e nuova dimostrazione della formula 

 di Whittaker. 



La più generale soluzione (regolare in un certo campo S) dell'equazione 

 di Laplace 



~ò 2 u yu_ 



ìx 2 + ìy- + ^ 2 _ ' 



può essere rappresentata con una espressione del tipo 



(1) u = j f{z -j- ix cos l -f- iy sen X , X) di = ) f(l , X) dX , 



(*) Whittaker, On the partial differential equations of math. physics, Mathematische 

 Annaien, 57 Band, 1903. 



('-) Beltrami. Opere matematiche, tomo 3°, Sulla teoria delle funzioni potenziali 

 simmetriche. E ibid.. Intorno ad un teorema di Abel e ad alcune sue applicazioni. 

 Debbo notare che già il prof. Burgatti nella sua Nota, Sui potenziali binarli (Rènd. 

 della R. Accad. di Bologna, 1909), aveva ricavato un'espressione dei potenziali simme- 

 trici dalla formula di Whittaker, senza però trattare la questione che forma oggetto del 

 presente scritto. 



