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3. — La funzione coniugata v. 

 Dalle equazioni di coniugio relative alle funzioni associate simmetriche 



T>v _ 



y 



~òu 



~òy " 



~òx ' 



~èv _ 



~òx . 



— y 



~òu 



si ricava in primo luogo 



— = — i I / «/ cos a# , 



/" designando la derivata di f rispetto al suo argomento x -\- iy cos . 

 Ne consegue 



(6) v = — i \ * fy cos & d& + Y, 



dove T è costante rispetto ad x , e quindi a priori una funzione della 

 sola y. Vedremo ora che Y risulta costante anche rispetto ad y. Infatti, 

 dalla (6) si ha 



— = — i f*fco8&d&+ )y cos 2 # f'd» + Y , 

 e siccome, per la prima equazione di coniugio, 



~òy Jo J/ 



così (scrivendo 1 — sen 2 # al posto di cos 2 !?) si ricava 



Ma 



—\i \ f cos &d& — \y sen 2 # f'd&-\-Y' = Q. 



Jo J 



— j% sen 2 ^ f'd& = — ij* |£ sen # ^ = 



= [—«' / sen &X + » f V cos &d& = i \ f cos ^ , 



per conseguenza 



Y' = 0, 



c. d. d. 



La costante additiva Y è inessenziale. Potremo quindi assumerla sen- 

 z'altro eguale a zero, e avremo complessivamente le cercate espressioni 

 funzionali d'ogni coppia di associate simmetriche sotto la forma: 



(7) 



u = j f(x -\- iy cos &) d& , 



Jo 



v = — i ! f(x -J- iy cos y cos 



