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non avremo che a prolungare in r, con legge qualunque, la funzione u s dei 

 punti della S: se u è un tal prolungamento, cioè una funzione continua 

 dei punti di r, che sul contorno coincide con u», allora 



(9) h = Az{us) 



è la densità d'un corpo situato in t, che esercita l'assegnata azione esterna. 



3. La questione è dunque ricondotta a risolvere l'equazione integrale (7). 

 Poniamo 



(10) W(M)=f s ^dS, 



dove intenderemo ora che M sia un punto qualunque dello spazio, e P un 

 punto variabile della S. Distingueremo, poi, al solito, con l'indice e i 

 valori d'una funzione in punti esterni alla S; con l'indice i, i valori della 

 funzione in punti interni della S. Essendo V la funzione potenziale del 

 nostro corpo, dalle (7) e (10) segue subito 



(11) W e = V,. 



Per le note proprietà delle funzioni potenziali di semplice strato, abbiamo 



dW e dWj 

 l dn dn 



(12) 



= 4nQ(M) , 



dove M è un determinato punto della S, nel quale s'intendono calcolate le 

 due derivate normali, e xp è l'angolo della retta MP con la seminormale 

 positiva (n. 2) in M alla S. Dalle (11) e (12) segue 



(1 3) ^«s^+jr^ssjtffl. 



Se dunque si suppone nota l'azione esterna del corpo, e quindi la de- 

 dY 



rivata normale -— , la ricerca di q si può anco far dipendere dalla (13), 



vale a dire da un'equazione integrale di Fredholm di seconda specie. Essa 

 ammette sempre un'unica soluzione continua, giacché l'equazione omogenea 

 relativa, per le note proprietà delle funzioni potenziali, non può ammettere 

 che la soluzione identicamente nulla. E la soluzione di (13) è soluzione 

 di (7): anzi ne è l'unica, giacché il nucleo della (7) è chiuso. 

 4. Notiamo due casi particolari semplicissimi. 



Se la S è di livello per il corpo, allora, essendo M un punto qualunque 

 di S, è 



W(M) = V(M) = costante, 



