e quindi W è pure costante (perchè armonica in r); sicché dalla prima 

 delle (12) segue subito, badando alla (11): 



come è risaputo. 



5. Supponiamo in secondo luogo che la S sia una sfera di raggio a 

 col centro nell'origine delle coordinate. Allora 



e la (13) diviene 



che non è altro se non l'equazione di Lagrangia. Se ne deduce 

 ih i\ 1 (dV e VA 



sicché il nostro problema è per la sfera interamente risoluto. 



6. Ma possiamo anco risolvere col nostro metodo un caso importante 

 per la Geodesia, già altrimenti risoluto dal prof. Pizzetti ; cioè quello d'un 

 pianeta, che ammetta come superficie d'equilibrio esteriore un ellissoide a 

 tre assi d'equazione 



(15) 5 = ^ + ^ + 4-1=0, 



a 2 Ir c 1 



?sià inoltre dotato d'un moto rotatorio uniforme, di velocità angolare a», 

 intorno a uno dei tre assi, per es. intorno all'asse & , e abbia una massa 

 totale M conosciuta. In questo caso, infatti, si deve avere in superficie 



(16) /X + y(a- + ^) = C, 



dove f è la costante dell'attrazione, e C un'altra costante, che, per le ipotesi 

 fatte, resta univocamente determinata (teorema di Stokes). Ne segue che la 

 risoluzione della (7) è ridotta in questo caso a quella d'un doppio problema 

 di Dirichlet, esterno e interno, rispetto all'ellissoide (15) : cioè alla ricerca 

 di due funzioni armoniche W e e W, , la prima all'esterno, e la seconda 

 all'interno dell'ellissoide, e che in superficie si riducano a 



