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Matematica. — Alcune questioni di geometria sopra una 

 curva algebrica. Nota I di Ruggiero Torelli, presentata da] Soeio 

 E. Bertini. 



la questo lavoro, dopo avere brevemente ricordata la rappresentazione 

 analitica di una corrispondenza algebrica fra due curve (§ 1), scrivo certe 

 relazioni cui soddisfano i periodi normali degli integrali normali Idi prima 

 specie relativi a due curve G p G p di genere p , allorquando esse sono fra- 

 zionale identiche (teorema I) ; e mostro poi come parte di queste relazioni 

 siano sufficienti per dedurre V identità birazionale di G p G p (teorema II). Ciò 

 getta qualche luce sulle incognite relazioni di Riemann che legano i periodi 

 normali relativi a una curva. 



Enuncio poi una condizione necessaria e sufficiente, relativa sempre ai 

 periodi di G p G p , perchè queste due curve abbiano la stessa varietà di 

 Jacobi (teorema III); e ciò mi dà occasione di ritrovare un teorema delj 

 Severi in proposito. 



Per esporre gli altri risultati, premetto qualche spiegazione. 



A) Siano V p , V p le varietà delle p-ple di punti di due curve G p G p 

 (q<-P). Dicendo ciò, intendiamo che siano state /issate le corrispondenze 

 fra i punti di V p V p e le p-ple di punti di G P G P ; e che, se G p è sovrap- 

 posta a Gp, sia V p sovrapposta a V P , e le due dette corrispondenze coin- 

 cidano. 



Se fra G p G p intercede una corrispondenza biunivoca, questa fa corri- 

 spondere biunivocamente le o-ple di punti di G p a quelle di C p , inducendo 

 così una ben determinata corrispondenza biunivoca fra V p V p . Quest'ultima, 

 e quelle da essa dedotte moltiplicandola per trasformazioni ordinarie (') 

 in sè di V p V p , si diranno associate alla data corrispondenza biunivoca fra 

 le due curve. 



B) Consideriamo nella varietà di Jacobi Y p , relativa a una curva 

 G p , la varietà ooP imagine delle j9-ple di punti di G p con p — q punti fissi 

 arbitrari. Applicando a tal varietà tutte le trasformazioni ordinarie di Y p 

 in sè, si hanno <x>p varietà che chiameremo brevemente varietà W p . Le W p 



(') Una corrispondenza biunivoca fra le p-ple di punti di una curva G p di genere 

 p >ip si dice ordinaria di 1" o 2 a specie, quando la differenza o la somma di p-ple 

 omologhe varia in una serie lineare. Se Q=p — 1, ovvero se C p è iperellittica, esiste 

 una corr. ordinaria (che è di 2 a specie); se q <Cp — 1 e C p non è iperellittica, non esi- 

 stono corr. ordinarie. 



Una corr. non ordinaria dicesi singolare. 



